2025　上智大学　TEAP理系2月6日実施MathJax

【１】　正の実数$a$を含む定積分

$F(a)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{a}}}{\displaystyle \frac{e^{-ax}}{1+x}}\mathit{dx}$

の近似値を次の手順で求めたい．

(1)　$x\geqq 0$のとき，任意の自然数$n$に対して

${\displaystyle \frac{1}{1+x}}-{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{(-x)}^k={\displaystyle \frac{{(-x)}^n}{1+x}}$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　$k$を$0$以上の整数とし，

$I_k(a)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{a}}}{(-x)}^k{e}^{-ax}\mathit{dx}$

とおく．このとき，$I_0(a)\text{，}$$I_1(a)$を求めよ．

(3)　任意の自然数$n$に対して

$|{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{a}}}{\displaystyle \frac{{(-x)}^n{e}^{-ax}}{1+x}}\mathit{dx}|\leqq {\displaystyle \frac{1}{(n+1)a^{n+1}}}$

が成り立つことを証明せよ．

(4)　(1)，(2)，(3)の結果を利用して$F(10)$の近似値を小数第$3$位まで求めよ．また，求めた近似値と真の値との差が$0.001$未満である理由を説明せよ．ただし，必要ならば$e^{-1}=0.368$として使ってよい．

【２】(1)　右の図のような$3\times 3$のマス目$\mathrm{A}$から$\mathrm{I}$のうち，$1$マス以上を黒く塗りつぶす．黒く塗られたマスが縦横斜めに隣り合わないような塗り方は全部で$\text{ア}$通りある．ただし「斜めに隣り合う」とは，例えば$\mathrm{A}$と$\mathrm{E}$のような位置にあるときを言う．

【２】(2)　$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{B}$の$3$種類の文字を使って作られた長さ$N$の文字列全ての中から無作為に$1$つの文字列を選び，次の操作を行う．

操作　同じ文字が$2$個以上続く場合は，その文字の並びを「文字」と「並ぶ個数」の$2$文字に置き換える．このとき，連続する同じ文字はすべてまとめて操作する．

例えば，$N=3$で，$\text{「}\mathrm{RRB}\text{」}$の場合は，操作により$\text{「}\mathrm{R}2\mathrm{B}\text{」}$となる．$N=4$で，$\text{「}\mathrm{RRRR}\text{」}$の場合は，操作により$\text{「}\mathrm{R}4\text{」}$となる．$\text{「}\mathrm{R}2\mathrm{R}2\text{」}$とはしない．

　操作により文字列が短くなる確率は，$N=3$のとき${\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}}}\text{，}$$N=4$のとき${\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}\text{，}$$N=6$のとき${\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}$である．

【３】　底面が半径$1$の円で，高さが$2$である円筒のコップに水が満たしてある．これを静かに角$\theta$だけ傾けたときの水面の面積を$S\text{，}$コップの中に残る水の体積を$V$とする．なお，表面張力は考慮しない．

(1)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，$S={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\sqrt{\text{コ}}\pi \text{，}$$V=(\text{サ}+{\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}\sqrt{\text{セ}})\pi$である．

(2)　$\tan \theta =2$を満たす$\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$だけ傾けたとき，$S={\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}\sqrt{\text{チ}}\pi \text{，}$$V={\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}$である．

【４】　面積が$20$である正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，面積が$15$である合同な二等辺三角形を各側面とする正四角錐$\mathrm{O‐ABCD}$を考える．

(1)　辺$\mathrm{OA}$の長さは$\text{ト}\sqrt{\text{ナ}}$である．

(2)　辺$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る平面$\alpha$で正四角錐$\mathrm{O‐ABCD}$を切断する．平面$\alpha$と辺$\mathrm{OD}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌ}}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$

である．

(3)　頂点$\mathrm{A}$を始点とし，正四角錐$\mathrm{O‐ABCD}$の側面上を移動して辺$\mathrm{OB}$上の点を通って辺$\mathrm{OC}$上の点まで至る道を考える．このとき，長さが最小の道を$l$とし，$l$の終点を$\mathrm{T}\text{，}$$l$と$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{S}$とする．$l$の長さは${\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}}\sqrt{\text{ハ}}$であり，

$\overrightarrow{\mathrm{OT}}={\displaystyle \frac{\text{ヒ}}{\text{フ}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OS}}={\displaystyle \frac{\text{ヘ}}{\text{ホ}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

である．