2025　上智大学　TEAP文系2月6日実施MathJax

【１】　座標平面上の放物線$C_1\text{：}y=x^2$と円$C_2\text{：}{x}^2+{(y-b)}^2=a^2$を考える．ただし，$a\text{，}$$b$は正の実数とする．

(1)　$C_1$と$C_2$が共有点をちょうど$3$つもつための必要十分条件は

$b=\text{ア}a$かつ$a>{\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}}}$

である．

(2)　$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で接するための必要十分条件は

$b=\text{エ}{a}^2+{\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}$かつ$a>{\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$

である．（ただし，$C_1$と$C_2$が共有点$\mathrm{P}$で接するとは，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$C_2$の接線が等しいことをいう．）また，このとき$2$つの接点のうち$x$座標が正のものを$\mathrm{A}(\alpha ,\beta )$とすると，

$\beta =\text{ケ}{\alpha }^2+{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$

である．$\mathrm{A}$における共通の接線の傾きが$\sqrt{3}$であるとき，直線$y=\beta$の下側で，$C_1$と$C_2$に囲まれた部分の面積は

${\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス<mspace width=".2em"></mspace>}}}\sqrt{\text{セ}}-{\displaystyle \frac{\pi }{\text{ソ}}}$

である．

【２】　$t$を実数とし，座標空間の$3$点

$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{t}{3}},t,t)\text{，}$$\mathrm{B}(1,t+1,t+1)\text{，}$$\mathrm{C}(t,t-1,t-2)$

を考える．

(1)　線分$\mathrm{BC}$が$xy$平面と共有点をもつための必要十分条件は

$\text{タ}\leqq t\leqq \text{チ}$

であり，このとき共有点の座標を$(p,q,0)$とすると

$p={\displaystyle \frac{1}{3}}(\text{ツ}{t}^2+\text{テ})\text{，}$$q={\displaystyle \frac{1}{3}}(\text{ト}t+\text{ナ})$

である．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とする．$\alpha$上の$\mathrm{▵ABC}$と$xy$平面が共有点をもつための必要十分条件は

$\text{ニ}\leqq t\leqq \text{ヌ}$

である．$t$がこの範囲を動くとき，$\alpha$上の$\mathrm{▵ABC}$と$xy$平面の共通部分の長さの最大値は

${\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}}\sqrt{\text{ハ}}$

である．

【３】(1)　$1$と異なる正の実数$a\text{，}$$b$が

$\{\begin{array}{c}{\log }_{a}b+{\log }_b{a}^3=4\\ a{b}^2=4\end{array}$

を満たしている．このとき，$a\ne b$ならば

${\log }_{2}a={\displaystyle \frac{\text{ヒ}}{\text{フ}}}\text{，}$${\log }_{2}b={\displaystyle \frac{\text{ヘ}}{\text{ホ}}}$

である．

【３】(2)　異なる$2$つの正の実数$\alpha \text{，}$$\beta$が${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }}=1$を満たすとき，

$A=\alpha +\beta \text{，}$$B=2\sqrt{\alpha +\beta }\text{，}$$C=\sqrt{2\alpha }+\sqrt{2\beta }$

の大小を不等号を用いて表すと

$\text{あ}<\text{い}<\text{う}$

である．

【３】(3)　正の奇数$n$に対して，$n$以下のすべての正の奇数の積を$n!!$と表す．例えば，$5!!=5\cdot 3\cdot 1=15$である．$2025!!$は$31$で最大$\text{マ}$回割り切れる．

【４】　赤玉$3$個，青玉$2$個，白玉$1$個の合計$6$個の玉が入った袋がある．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人が，

$\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{B}\to \mathrm{A}$

の順番で，この袋から玉を$1$個ずつ取り出す．ただし，一度取り出した玉は袋に戻さないものとする．

　$\mathrm{A}$は赤玉と白玉を出せば勝ち，Bは青玉と白玉を出せば勝ち，$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も勝ちにならなければ引き分けというルールで，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人が勝負を行う．

(1)　$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{ミ}}{\text{ム}}}\text{，}$$\mathrm{B}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{メ}}{\text{モ}}}$である．

(2)　$\mathrm{A}\to \mathrm{B}$と$2$個目の玉を取り出した時点で，引き分けが確定する確率は${\displaystyle \frac{\text{ヤ}}{\text{ユ}}}$である．

(3)　$\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{B}$と$3$個目の玉を取り出した時点で勝負の結果が確定していないとき，$4$個目の玉を取り出して$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{ヨ}}{\text{ラ}}}$である．