2025　慶応義塾大学　医学部MathJax

【１】　以下の設問(5)に答え，文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)　確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,1)$に従うとき，$0\leqq Z\leqq u$となる確率を$p(u)$で表す．いくつかの$u$の値に対する$p(u)$の値を以下の表にまとめた．

この表を用いて，身長の分布について考察してみよう．

　ある年の高校$3$年生女子の身長は，平均$158\mathrm{cm}\text{，}$標準偏差$5\mathrm{cm}$の正規分布に従うと仮定する．この年の高校$3$年生女子の中で，身長が$153\mathrm{cm}$以上$170.5\mathrm{cm}$以下の生徒は約$\text{(あ)}\mathrm{\%}$いる．この年の高校$3$年生女子の中で，身長が低い方から$2.5\mathrm{\%}$の中に入る生徒の身長は$\text{(い)}\mathrm{cm}$以下である．ただし，空欄(あ)には小数第$1$位を四捨五入して，整数値を入れ，空欄(い)には当てはまる最も大きい整数値を入れなさい．

【１】　以下の設問(5)に答え，文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(2)　連続型確率変数$X$のとりうる値の範囲が$1\leqq X\leqq e$であり，その確率密度関数が$f(x)=rx\log x$$\text{（}1\leqq x\leqq e\text{）}$で与えられている．ただし，$r$は定数であり，$e$は自然対数の底である．このとき，$r=\text{(う)}$である．

【１】　以下の設問(5)に答え，文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\sin }^3\left({\displaystyle \frac{k\pi }{2n}}\right)=\text{(え)}$である．

【１】　以下の設問(5)に答え，文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(4)　$i$を虚数単位とし，方程式$z^3=12(1+\sqrt{3}i)$の異なる$3$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$とする．複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$の面積を$3^s$と表すと，$s=\text{(お)}$である．ただし，空欄(お)には分数を入れなさい．

【１】　以下の設問(5)に答え，文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(5)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を整数とし，$c\ne 0$または$d\ne 0$とする．$\sqrt{2}$が無理数であることを用いて，以下の$4$条件

$a\geqq 0\text{，}$$b\geqq 0\text{，}$${\displaystyle \frac{a\sqrt{2}+b}{c\sqrt{2}+d}}=2\sqrt{2}\text{，}$$ad+bc=18$

を満たす組$(a,b,c,d)$をすべて求めなさい．ただし，答えだけでなく思考過程も書きなさい．

【２】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし，空欄(か)，(そ)には$n$の式を入れ，それ以外の空欄には数を入れなさい．

　袋が$1$つ，赤玉$3$個，白玉$3$個が用意されている．赤玉が少なくとも$1$個袋に入った状態に対して，操作Tの手順を以下のように定める．

$n$を自然数とする．

(1)　赤玉$3$個と白玉$3$個が袋に入った状態から始めて，操作Tを$n$回施し終えたとき，袋の中に入っている白玉の個数が$3$個である確率を$a_n\text{，}$$2$個である確率を$b_n\text{，}$$1$個である確率を$c_n$とする．このとき，次の関係式

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=\text{(あ)}{a}_n\\ b_{n+1}=\text{(い)}{a}_n+\text{(う)}{b}_n\\ c_{n+1}=\text{(え)}{b}_n+\text{(お)}{c}_n\end{array}$

が成り立つ．これより，$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$をそれぞれ$n$の式で表すと

$a_n=\text{(か)}$

$b_n=\text{(き)}\{{(\text{(く)})}^n-{(\text{(け)})}^n\}$

$c_n=\text{(こ)}\{{(\text{(さ)})}^{n-1}$$+\text{(し)}{(\text{(す)})}^{n-1}$$+{(\text{(せ)})}^{n-1}\}$

である．ただし，$\text{(さ)}>\text{(せ)}$とする．

(2)　赤玉が少なくとも$1$個袋に入った状態に対して，ゲームTのルールを以下のように定める．

　赤玉$3$個と白玉$3$個が袋に入った状態から始めて，ゲームTを$n$回行い終えたとき，$1$回目から$n$回目までに得た点の合計を$X_n$とし，$Y_n=2^{X_n}$と定める．このとき，$Y_n$の期待値は$\text{(そ)}$であり，分散は$\text{(た)}{2}^{n-1}$$+\text{(ち)}{n}^2$$+\text{(つ)}n$$+\text{(て)}$である．

【３】　以下の設問(1)(ⅱ)に答え，文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．以下，すべての多項式は，実数を係数とする$x$についての多項式であるとする．

(1)(ⅰ)　$3$次式$P(x)=3x^3-9x^2+7x$と$2$次式$Q(x)=2x^2+1$について，合成関数$P(Q(x))$は多項式$\text{(あ)}$で表される．

(ⅱ)　多項式の積の展開より，$2$つの多項式$G(x)=a_m{x}^m$$+\cdots$$+a_{1}x+a_0$と$H(x)=b_n{x}^n$$+\cdots$$+b_{1}x+b_0$の合成関数$G(H(x))$は多項式で表される．$n$が自然数であって$b_n\ne 0$であるとき，$G(H(x))=0$が$x$についての恒等式ならば，$a_m=\cdots$$=a_0=0$となることを示しなさい．

(2)　$f(x)$を$0$でない多項式とし，

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}\text{，}$$h(x)={\displaystyle {\int }_x^1}f(t)\mathit{dt}$

と定める．さらに，$g(1)$を$a$と表し，以下の$2$条件が成り立つとする．

・ある定数$b\text{，}$$c\text{，}$$d$が存在して，$x$についての恒等式

$g(h(x))$$-({\{h(x)\}}^3$$+b{\{g(x)\}}^2$$+ch(x)+d)=0$

が成り立つ．

・等式$f(1)=2(1-a)$が成り立つ．

以下において(う)，(き)，(く)，(せ)には数を入れ，他の空欄は$a$を用いて表しなさい．

(ⅰ)　$g(x)+h(x)=\text{(い)}$であり，(1)(ⅱ)を用いると，$g(x)$は$\text{(う)}$次式であり，$b=\text{(え)}\text{，}$$c=\text{(お)}\text{，}$$d=\text{(か)}$であることがわかる．

(ⅱ)　関数$g(x)$が極値をもつための必要十分条件は$a<\text{(き)}$または$a>\text{(く)}$である．$a$がこの条件を満たすとき，$g(x)$は$x=\text{(け)}$で極大値$M$をとる．また，方程式$g(x)=M$の解は$x=\text{(け)}$と$x=\text{(こ)}$である．

(ⅲ)　曲線$y=g(x)$上の点$(a,g(a))$における接線の方程式は，$y=\text{(さ)}x+\text{(し)}$である．さらに，

$F(a)={\displaystyle {\int }_0^a}\{g(x)$$-\text{(さ)}x$$-\text{(し)}$$-2(x-a)\}{e}^{-\frac{{(x-a)}^2}{2}}\mathit{dx}$

と定める．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，$F(a)=\text{(す)}$と表され，$a$の関数$F(a)$の最大値は$\text{(せ)}$である．

【４】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)　座標平面において，連立不等式$0\leqq x\leqq 1\text{，}$$0\leqq y\leqq 1$の表す正方形$S$を考える．正方形$S$の辺上の異なる$5$点

${\mathrm{P}}_0(0,0)\text{，}$${\mathrm{P}}_1(p_1,1)\text{，}$${\mathrm{P}}_2(1,q_2)\text{，}$${\mathrm{P}}_3(p,0)\text{，}$${\mathrm{P}}_4(p_4,q_4)$

は次の条件を満たすとする．$i=1\text{，}$$2\text{，}$$3$に対して，点${\mathrm{P}}_i$は正方形$S$の頂点でなく，点${\mathrm{P}}_i$を通る正方形$S$の辺を線分${\mathrm{A}}_i{\mathrm{B}}_i$と表すとき，$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_{i-1}{\mathrm{P}}_i{\mathrm{A}}_i=\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_{i+1}{\mathrm{P}}_i{\mathrm{B}}_i$が成り立つ．ただし，$0\mathrm{°}<\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_{i-1}{\mathrm{P}}_i{\mathrm{A}}_i<90\mathrm{°}$とする．

　このとき，$p_1=\text{(あ)}\text{，}$$q_2=\text{(い)}$である．さらに，$0<p\leqq \text{(う)}$のとき$(p_4,q_4)=(0,\text{(え)})$であり，$\text{(う)}\leqq p<1$のとき$(p_4,q_4)=(\text{(お)},1)$である．ただし，(う)には数を入れ，それ以外の上記の空欄は$p$を用いて表しなさい．

(2)　座標空間において，連立不等式$0\leqq x\leqq 1\text{，}$$0\leqq y\leqq 1\text{，}$$0\leqq z\leqq 1$の表す立方体$T$を考える．立方体$T$の面上の異なる$5$点

${\mathrm{Q}}_0(0,0,0)\text{，}$ ${\mathrm{Q}}_1(a_1,b_1,1)\text{，}$${\mathrm{Q}}_2(a_2,1,c_2)\text{，}$${\mathrm{Q}}_3(a,b,0)\text{，}$${\mathrm{Q}}_4(a_4,b_4,c_4)$

は次の条件を満たすとする．$i=1\text{，}$$2\text{，}$$3$に対して，点${\mathrm{Q}}_i$は立方体$T$の頂点でなく，$T$の辺上にもない．さらに，点${\mathrm{Q}}_i$を含む立方体$T$の面は，$3$点${\mathrm{Q}}_{i-1}\text{，}$${\mathrm{Q}}_i\text{，}$${\mathrm{Q}}_{i+1}$の定める平面と直交し，この$2$つの面が共有する線分を${\mathrm{C}}_i{\mathrm{D}}_i$と表すとき，$\mathrm{\angle }{\mathrm{Q}}_{i-1}{\mathrm{Q}}_i{\mathrm{C}}_i=\mathrm{\angle }{\mathrm{Q}}_{i+1}{\mathrm{Q}}_i{\mathrm{D}}_i$が成り立つ．ただし，$0\mathrm{°}<\mathrm{\angle }{\mathrm{Q}}_{i-1}{\mathrm{Q}}_i{\mathrm{C}}_i<90\mathrm{°}$とする．

(ⅰ)　$2$点$(0,0,0)\text{，}$$(a_1,b_1,0)$を通る直線と平面$y=1$の交点の座標は$a_1\text{，}$$b_1$を用いて$(\text{(か)},1,0)$と表されるので，$a_2=\text{(か)}$である．

(ⅱ)　$a\text{，}$$b$を用いて$a_1=\text{(き)}\text{，}$$b_1=\text{(く)}\text{，}$$a_2=\text{(け)}\text{，}$$c_2=\text{(こ)}$と表される．さらに，$a_4=1\text{，}$$b_4=0$となるための必要十分条件は，$\text{(さ)}\leqq a<1$かつ$b=\text{(し)}$となることであって，この条件が成り立つならば，$c_4=\text{(す)}$である．また，$0<a\leqq \text{(さ)}$かつ$\text{(さ)}\leqq b<1$であるとき，$(a_4,b_4,c_4)=(\text{(せ)},\text{(そ)},1)$である．ただし，(さ)には数を入れ，(し)，(す)は$a$を用いて，(せ)，(そ)は$a\text{，}$$b$を用いて表しなさい．