2025　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】(1)　実数$x$について，$\left[x\right]$を$x$を超えない最大の整数とする．いま，正の整数$n$に対して，数列$\{a_n\}$を

$a_n=n-{\left[\sqrt{n}\right]}^2+1$

と定義すると

(a)　$a_n=10$となる最も小さな$n$は$\text{(1)}\text{(2)}$であり，

(b)　${\displaystyle \sum _{i=1}^{27}}{a}_i=\text{(3)}\text{(4)}\text{(5)}$であり，

(c)　一般に

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n^2}}{a}_i={\displaystyle \frac{\text{(6)}\text{(7)}{n}^3+\text{(8)}\text{(9)}{n}^2+\text{(10)}\text{(11)}n}{\text{(12)}\text{(13)}}}$

である．

【１】(2)　$xy$平面上に$y=x^2$で表される放物線$C_1\text{，}$点$(0,a)$を中心とする半径$r$の円$C_2$$\text{（}a\text{，}$$r$は正の実数）が存在する．$k$を正の実数として，$C_1$と$C_2$が異なる$2$点$(k,k^2)\text{，}$$(-k,k^2)$で接する（つまり，これらの点を共有し，共有点で共通の接線をもつ）とき

$r>{\displaystyle \frac{\text{(14)}\text{(15)}}{\text{(16)}\text{(17)}}}\text{，}$$a=\text{(18)}\text{(19)}{r}^2+{\displaystyle \frac{\text{(20)}\text{(21)}}{\text{(22)}\text{(23)}}}\text{，}$$k^2=\text{(24)}\text{(25)}{r}^2+{\displaystyle \frac{\text{(26)}\text{(27)}}{\text{(28)}\text{(29)}}}$

である．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{OABC}$を底面の$1$つとする高さ$2$の四角柱$\mathrm{OABC‐DEFG}$を考える．この四角柱のすべての側面は底面と垂直である．

(1)　三角形OBEの面積は${\displaystyle \frac{\text{(30)}\text{(31)}}{\text{(32)}\text{(33)}}}$である．

(2)　正方形$\mathrm{DEFG}$の対角線の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\cos \mathrm{\angle BOH}={\displaystyle \frac{\text{(34)}\text{(35)}}{\text{(36)}\text{(37)}}}$であり，点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{BH}$へ下ろした垂線の長さは${\displaystyle \frac{\text{(38)}\text{(39)}}{\text{(40)}\text{(41)}}}$である．

(3)　点$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{OEG}$へ下ろした垂線の長さは${\displaystyle \frac{\text{(42)}\text{(43)}}{\text{(44)}\text{(45)}}}$である．

(4)　四面体$\mathrm{OBEG}$の体積は${\displaystyle \frac{\text{(46)}\text{(47)}}{\text{(48)}\text{(49)}}}$である．

【３】　複素数平面上において，$4$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(2i)$は同一円周上に存在し，複素数$\alpha \text{，}$$\beta$は$\left|\alpha \right|=\left|\beta \right|=1\text{，}$$4(2+i)\alpha =5(\alpha -\beta )$を満たしている．また，この円を方程式$|z-\gamma |=d$を満たす点$z$全体の集合として表したとき，複素数$\gamma$の実部は負となるものとする．

(1)　${\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{\alpha }}$の偏角を$\theta$とするとき，$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{(50)}\text{(51)}}}{\text{(52)}\text{(53)}}}$である．

(2)　$d={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{(54)}\text{(55)}}}{\text{(56)}\text{(57)}}}\text{，}$ $\gamma ={\displaystyle \frac{\text{(58)}\text{(59)}+\text{(60)}\text{(61)}i}{\text{(62)}\text{(63)}}}$である．

(3)　$\beta ={\displaystyle \frac{\text{(64)}\text{(65)}+\text{(66)}\text{(67)}i}{\text{(68)}\text{(69)}}}$である．

(4)　$z$が三角形$\mathrm{ABC}$の外接円から点$\mathrm{O}$を除いた円周上を動くとき，$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$が描く図形は点$\mathrm{P}\left({\displaystyle \frac{\text{(70)}\text{(71)}+\text{(72)}\text{(73)}i}{\text{(74)}\text{(75)}}}\right)$と点$\mathrm{O}$を結ぶ線分の垂直二等分線である．

【４】　$r$を$r>1$となる実数とし，$xy$平面において曲線$y=\sqrt{r^2-x^2}$$\text{（}-r\leqq x\leqq r\text{）}$と直線$y=1$で囲まれた図形を$D$とする．

(1)　$r=2$のとき，$D$の面積は${\displaystyle \frac{\text{(76)}\text{(77)}}{\text{(78)}\text{(79)}}}\pi$$+\text{(80)}\text{(81)}\sqrt{\text{(82)}\text{(83)}}$である．

(2)　$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V_1$とすると

$V_1={\displaystyle \frac{\pi }{\text{(84)}\text{(85)}}}(\text{(86)}\text{(87)}{r}^3$$+\text{(88)}\text{(89)}{r}^2$$+\text{(90)}\text{(91)})$

である．また，$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V_2$とすると

$V_2={\displaystyle \frac{\pi }{\text{(92)}\text{(93)}}}(\text{(94)}\text{(95)}{r}^2$$+\text{(96)}\text{(97)})\sqrt{\text{(98)}\text{(99)}{r}^2+\text{(100)}\text{(101)}}$

である．さらに，$V_1\text{，}$$V_2$が

${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}={\displaystyle \frac{7}{17}}\sqrt{{\displaystyle \frac{r-1}{r+1}}}$

を満たすとき，$r={\displaystyle \frac{\text{(102)}\text{(103)}}{\text{(104)}\text{(105)}}}$である．

【５】　水平で十分広い机の上に立方体のサイコロが置かれている．サイコロは$1$の目をもつ面が下方，$6$の目をもつ面が上方を向いており（つまり，それぞれ下面，上面となっており），$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$の目をもつ面は，それぞれ北方，東方，西方，南方を向いている．このサイコロの下面の$4$つの辺のうち，1つの辺を等確率${\displaystyle \frac{1}{4}}$で選択し，この辺を軸としてサイコロを$90\mathrm{°}$回転させて倒す操作を$n$回$\text{（}n$は正の整数）連続で繰り返す．このとき，$1$の目をもつ面が下方を向いている確率を$p_n\text{，}$北方を向いている確率を$q_n$とすると

$p_1=0\text{，}$$p_2={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}$$p_3={\displaystyle \frac{\text{(106)}\text{(107)}}{\text{(108)}\text{(109)}}}\text{，}$$p_4={\displaystyle \frac{\text{(110)}\text{(111)}}{\text{(112)}\text{(113)}}}\text{，}$$\cdots \text{，}$$p_8={\displaystyle \frac{\text{(114)}\text{(115)}\text{(116)}}{\text{(117)}\text{(118)}\text{(119)}}}\text{，}$$p_9={\displaystyle \frac{\text{(120)}\text{(121)}\text{(122)}}{\text{(123)}\text{(124)}\text{(125)}}}\text{，}$$\cdots$

$q_1={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}$$q_2={\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}$$q_3={\displaystyle \frac{\text{(126)}\text{(127)}}{\text{(128)}\text{(129)}}}\text{，}$$q_4={\displaystyle \frac{\text{(130)}\text{(131)}}{\text{(132)}\text{(133)}}}\text{，}$$\cdots \text{，}$$q_8={\displaystyle \frac{\text{(134)}\text{(135)}\text{(136)}}{\text{(137)}\text{(138)}\text{(139)}}}\text{，}$$q_9={\displaystyle \frac{\text{(140)}\text{(141)}\text{(142)}\text{(143)}}{\text{(144)}\text{(145)}\text{(146)}\text{(147)}}}\text{，}$$\cdots$

である．