2025　慶応義塾大学　総合政策学部MathJax

【１】

(1)　立方体の各面に色を塗る方法を考える．ただし，立方体を回転して一致する塗り方は同じとみなす．各面には$1$色しか塗らないものとする．

(a)　赤，青，緑，黄，白，黒の$6$色をすべて使って塗る方法は$\text{(1)}\text{(2)}\text{(3)}$通りある．

(b)　赤，青，緑，黄，紫，茶，白，黒の$8$色から異なる$6$色を選び，その$6$色をすべて使って塗る方法は$\text{(4)}\text{(5)}\text{(6)}$通りある．

(c)　白と黒の$2$色をすべて使って塗る方法は$\text{(7)}\text{(8)}\text{(9)}$通りある．

(d)　赤，青，黄，白，黒の$5$色をすべて使い，隣り合う面の色が異なるように塗る方法は$\text{(10)}\text{(11)}\text{(12)}$通りある．

(e)　$6$面のうち$2$面を赤で塗り，青，黄，白，黒の$4$色をすべて使って残り$4$面を塗る方法は$\text{(13)}\text{(14)}\text{(15)}$通りある．

【１】

(2)　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$$\text{（}n$は正の整数）までの和を$S_n$とおくとき

$S_n=2n-3a_n-4$

が成り立っている．このとき，$a_1={\displaystyle \frac{\text{(16)}\text{(17)}}{\text{(18)}\text{(19)}}}$であり，数列$\{a_n\}$は漸化式

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\text{(20)}\text{(21)}}{\text{(22)}\text{(23)}}}{a}_n+{\displaystyle \frac{\text{(24)}\text{(25)}}{\text{(26)}\text{(27)}}}$

を満たす．よって，一般項$a_n$は

$a_n=\text{(28)}\text{(29)}+{\displaystyle \frac{\text{(30)}\text{(31)}}{\text{(32)}\text{(33)}}}{\left({\displaystyle \frac{\text{(34)}\text{(35)}}{\text{(36)}\text{(37)}}}\right)}^{n-1}$

である．

【２】　$xy$平面上において，$y$座標が正である$y$軸上の点$\mathrm{P}$を中心とする円$C$が次の$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$と接している（すなわち，共有点において共通の接線をもつ）．

$C_1\text{：}y=-x^2+2x$$C_2\text{：}y=-x^2-2x$

$C$と$C_1$の接点を$\mathrm{A}\text{，}$$C$と$C_2$の接点を$\mathrm{B}$とすると，三角形$\mathrm{PAB}$は$\mathrm{\angle APB}$を直角とする直角二等辺三角形になっている．このとき

(1)　点$\mathrm{P}$の$y$座標は${\displaystyle \frac{\text{(38)}\text{(39)}}{\text{(40)}\text{(41)}}}$であり，

(2)　円$C$の半径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{(42)}\text{(43)}}}{\text{(44)}\text{(45)}}}$であり，

(3)　円$C$と曲線$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれた図形（円$C$の内部は含まない）の面積は${\displaystyle \frac{\text{(46)}\text{(47)}}{\text{(48)}\text{(49)}}}$$+{\displaystyle \frac{\text{(50)}\text{(51)}}{\text{(52)}\text{(53)}}}\pi$である．

【３】　実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に対して，$x$の$2$次関数$f(x)$と$1$次関数$g(x)$は次の等式を満たしている．

$f(x)-{\displaystyle {\int }_0^x}(3t^2+2t)g^{\prime }(t)\mathit{dt}$$=3x^3$$+a{x}^2+bx+1$

$g(x)+6{\displaystyle {\int }_1^x}t{f}^{\prime }(t)\mathit{dt}$$=8x^3$$-21x^2+cx+20$

このとき

$f(x)=\text{(54)}\text{(55)}{x}^2$$+\text{(56)}\text{(57)}x+\text{(58)}\text{(59)}$

$g(x)=\text{(60)}\text{(61)}x+\text{(62)}\text{(63)}$

であり，$a=\text{(64)}\text{(65)}\text{，}$$b=\text{(66)}\text{(67)}\text{，}$$c=\text{(68)}\text{(69)}$である．

　また，$xy$平面上で，曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$によって囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\text{(70)}\text{(71)}}{\text{(72)}\text{(73)}}}$である．

【４】　$\mathrm{AB}=20\text{，}$$\mathrm{BC}=15$である長方形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$があり，頂点$\mathrm{P}$から長方形$\mathrm{ABCD}$に下ろした垂線は長方形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点$\mathrm{Q}$で交わる．この四角錐$\mathrm{P‐ABCD}$を底面と平行な平面で切ってできる長方形を$\mathrm{EFGH}$とするとき，$\mathrm{FG}=9\text{，}$$\mathrm{AE}=13$であった（ただし，点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$は，それぞれ線分$\mathrm{PA}\text{，}$$\mathrm{PB}\text{，}$$\mathrm{PC}\text{，}$$\mathrm{PD}$上の点とする）．

(1)　$\mathrm{EF}=\text{(74)}\text{(75)}\text{，}$$\mathrm{AG}=\text{(76)}\text{(77)}\sqrt{\text{(78)}\text{(79)}}$である．

(2)　線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{FG}$を含む平面で四角錐$\mathrm{P‐ABCD}$を切るとき，切り口にできる台形$\mathrm{ADGF}$の面積は$\text{(80)}\text{(81)}\text{(82)}$である．

(3)　四角錐$\mathrm{P‐EFGH}$の体積は$\text{(83)}\text{(84)}\text{(85)}$である．

(4)　長方形$\mathrm{EFGH}$にその対角線の交点で接し，四角錐$\mathrm{P‐EFGH}$の面および内部に全体が含まれる球について，その半径の最大値は${\displaystyle \frac{\text{(86)}\text{(87)}+\text{(88)}\text{(89)}\sqrt{\text{(90)}\text{(91)}}}{\text{(92)}\text{(93)}}}$である．

【５】　日本のジャンケンは，石（グー），はさみ（チョキ），紙（パー）の$3$種類のどれかを出して勝ち負けを決めるゲームだが，フランスのジャンケンは，石（ピエール），井戸（ピュイ），木の葉（フェイユ），はさみ（シゾー）の$4$種類のどれかの手を出して勝ち負けを決める．

　石とはさみでは，はさみを切れなくする石が勝ち，はさみが負ける．はさみと木の葉では，木の葉を切るはさみが勝ち，木の葉が負ける．石とはさみは井戸に落ちるので，井戸は石とはさみに勝ち，石とはさみは井戸に負ける．木の葉は，石を包み井戸をふさぐことができるので石と井戸に勝ち，石と井戸は木の葉に負ける．また，同じ手の場合にはあいことなり引き分けとなる．

　いま，$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君がフランスのジャンケンで勝ち負けを決めようとしているが，フランスのジャンケンの場合には出す手の戦略をいくつか考えることができる．

(戦略１)　石，井戸，木の葉，はさみを${\displaystyle \frac{1}{4}}$ずつの確率で出す．

(戦略２)　井戸と木の葉の両方に負ける石を出さずに，井戸，木の葉，はさみを${\displaystyle \frac{1}{3}}$ずつの確率で出す．

(戦略３)　石と井戸の両方に負けるはさみを出さずに，石，井戸，木の葉を${\displaystyle \frac{1}{3}}$ずつの確率で出す．

(戦略４)　$2$つの手に負ける石とはさみを出さずに，井戸と木の葉を${\displaystyle \frac{1}{2}}$ずつの確率で出す．

(1)　$\mathrm{A}$君が戦略２で手を出し，$\mathrm{B}$君が戦略１で手を出すとき，$1$回のジャンケンで$\mathrm{A}$君が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{(94)}\text{(95)}}{\text{(96)}\text{(97)}}}$で，$\mathrm{B}$君が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{(98)}\text{(99)}}{\text{(100)}\text{(101)}}}$である．

(2)　$\mathrm{A}$君が戦略４で手を出し，$\mathrm{B}$君が戦略３で手を出すとき，$1$回のジャンケンで$\mathrm{A}$君が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{(102)}\text{(103)}}{\text{(104)}\text{(105)}}}$で，$\mathrm{B}$君が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{(106)}\text{(107)}}{\text{(108)}\text{(109)}}}$である．

(3)　$\mathrm{B}$君が戦略１で手を出すとき，$\mathrm{A}$君は$4$つの戦略のうち戦略$\text{(110)}$を選べば，$1$回のジャンケンで$\mathrm{A}$君の勝つ確率が${\displaystyle \frac{\text{(111)}\text{(112)}}{\text{(113)}\text{(114)}}}$で，$\mathrm{B}$君が勝つ確率が${\displaystyle \frac{\text{(115)}\text{(116)}}{\text{(117)}\text{(118)}}}$となり，$\mathrm{A}$君の勝つ確率と$\mathrm{B}$君の勝つ確率の比（引き分けは考えずに$\mathrm{A}$君の勝つ確率を$\mathrm{B}$君の勝つ確率で割ったもの）を最も大きくすることができる．