2025　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}$$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{4}{5}}$とする．座標平面上の$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を，$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(5,0)\text{，}$$\mathrm{B}(5\cos \alpha ,5\sin \alpha )\text{，}$$\mathrm{C}(5\cos 3\alpha ,5\sin 3\alpha )$とする．

(a)　$\mathrm{▵OAB}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{(1)}\text{(2)}}{\text{(3)}}}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の長さは$\sqrt{\text{(4)}\text{(5)}}$である．

(b)　$\mathrm{▵OBC}$の面積は$\text{(6)}\text{(7)}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の長さは$\text{(8)}$である．

(c)　線分$\mathrm{AC}$の長さは${\displaystyle \frac{\text{(9)}\text{(10)}}{\text{(11)}}}\sqrt{\text{(12)}\text{(13)}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　不等式

$|m+n-6|+|m-n-2|\leqq 6$$\cdots \text{①}$

を満たす整数$m\text{，}$$n$を考える．$(m+n-6)(m-n-2)\geqq 0$のとき，$m$と$n$が不等式$\text{①}$を満たすための必要十分条件は

$\text{(14)}\leqq m\leqq \text{(15)}$

である．同様に，$(m+n-6)(m-n-2)\leqq 0$のとき，$m$と$n$が$\text{①}$を満たすための必要十分条件は

$\text{(16)}\text{(17)}\leqq n\leqq \text{(18)}$

である．よって，$m$と$n$が$\text{①}$を満たすとき，$(m-n)(m+n-6)$の最大値は，

$(m-n)(m+n-6)$$={(m-\text{(19)})}^2$$-{(n-\text{(20)})}^2$

より$\text{(21)}\text{(22)}$である．

【２】　数列$\{a_n\}$に対して

$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{2}{3^k}}{\displaystyle \frac{(k+2)!}{(k-1)!}}{a}_k$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおくとき，

$T_n={(n-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つとする．ただし，$0!=1$である．

(1)　$a_1={\displaystyle \frac{\text{(23)}}{\text{(24)}\text{(25)}}}\text{，}$$a_2={\displaystyle \frac{\text{(26)}}{\text{(27)}}}$である．

(2)　$n\geqq 2$に対して$T_n-T_{n-1}=\text{(28)}n-\text{(29)}$が成り立つから，

$a_n=r^n{\displaystyle \frac{n-\text{(30)}}{(n+s)(n+t)(n+u)}}$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

である．ただし，ここに$r=\text{(31)}$であり，$s<t<u$として$s=\text{(32)}\text{，}$$t=\text{(33)}\text{，}$$u=\text{(34)}$である．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．$k\geqq 2$に対して

$a_k={\displaystyle \frac{1}{\text{(35)}}}\{{\displaystyle \frac{r^{k+1}}{(k+1)(k+\text{(36)})}}$$-{\displaystyle \frac{r^k}{(k+1)(k+\text{(37)})}}\}$

が成り立つから，

$S_n=-{\displaystyle \frac{\text{(38)}\text{(39)}}{\text{(40)}\text{(41)}}}$$+{\displaystyle \frac{r^{n+1}}{\text{(42)}(n+p)(n+q)}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．ただし，ここに$p<q$として$p=\text{(43)}\text{，}$$q=\text{(44)}$である．

【３】　$2$枚の硬貨を同時に投げることを試行という．各回の試行において，座標平面上の点$\mathrm{P}$は次の(A)，(B)，(C)に従って座標平面上を移動する．

(A)　点$\mathrm{P}$が$(x,y)$にあるとき，表が$2$枚出れば$(x+1,y+\sqrt{3})$に移動する．

(B)　点$\mathrm{P}$が$(x,y)$にあるとき，裏が$2$枚出れば$(x+1,y-\sqrt{3})$に移動する．

(C)　点$\mathrm{P}$が$(x,y)$にあるとき，表と裏が$1$枚ずつ出れば$(x-2,y)$に移動する．

例えば，点$\mathrm{P}$が$(1,\sqrt{3})$にあるとき，裏が$2$枚出れば，点$\mathrm{P}$は$(2,0)$に移動する．

(1)　$1$回目の試行前に原点にある点$\mathrm{P}$が，$3$回目の試行後に原点にある確率は${\displaystyle \frac{\text{(45)}}{\text{(46)}\text{(47)}}}$である．

(2)　$1$回目の試行前に原点にある点$\mathrm{P}$が，$3$回目の試行後に$y$軸上にある確率は${\displaystyle \frac{\text{(48)}}{\text{(49)}}}$である．

(3)　$1$回目の試行前に原点にある点$\mathrm{P}$が，$5$回目の試行後に$x$軸上にある確率は${\displaystyle \frac{\text{(50)}\text{(51)}}{\text{(52)}\text{(53)}\text{(54)}}}$である．

(4)　$1$回目の試行前に原点にある点$\mathrm{P}$が$5$回目の試行後に$x$軸上にあるとき，$8$回目の試行後に円$x^2+y^2=4$上にある条件付き確率は${\displaystyle \frac{\text{(55)}\text{(56)}}{\text{(57)}\text{(58)}\text{(59)}}}$である．

【４】　$p$を正の実数，$m$を自然数とし，曲線$y=-x^2$上の点$(-p,-p^2)$における接線と直線$y=2m$の交点を${\mathrm{P}}_m$とする．${\mathrm{P}}_m$の$x$座標が$1$以下となる$m$の最大値を$N$とする．

(1)　${\mathrm{P}}_m$の$x$座標を，$p$と$m$を用いて表せ．

(2)　$N=40$が成り立つ$p$の範囲を求めよ．

　以下，$n$を自然数とし，$a=3n{\log }_{3}6-{\log }_{3}2+n$とする．

(3)　$3^a$は$2$以上の自然数である．$3^a$の素因数分解を，$n$を用いて書け．

(4)　$p=3^a$のとき，$N<2^{1000}$となる自然数$n$の最大値を求めよ．なお，必要があれば$1.58<{\log }_{2}3<1.59$を用いよ．

【５】　座標空間の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面を$C\text{，}$点$\mathrm{M}(4,0,0)$を中心とする半径$2$の球面を$D$とする．

(1)　$p\text{，}$$q$を実数とする．$xy$平面上の直線$y=px+q$は，球面$C$と$xy$平面が交わってできる円と点${\mathrm{A}}_1$で接し，球面$D$と$xy$平面が交わってできる円と点${\mathrm{A}}_2$で接し，かつ，$0<p<1$を満たすとする．$p$と$q$の値を求めよ．

(2)　$r\text{，}$$s$を実数とする．$zx$平面上の直線$z=rx+s$は，球面$C$と$zx$平面が交わってできる円と点${\mathrm{B}}_1$で接し，球面$D$と$zx$平面が交わってできる円と点${\mathrm{B}}_2$で接し，かつ，$r<-1$を満たすとする．$r$と$s$の値を求めよ．

　以下，点$\mathrm{E}$は$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1\mathrm{E}}=(0,0,1)$を満たすとし，$3$点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$$\mathrm{E}$を通る平面を$\alpha$とする．また，点$\mathrm{F}$は$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1\mathrm{F}}=(0,1,0)$を満たすとし，$3$点${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$$\mathrm{F}$を通る平面を$\beta$とする．$\alpha$と$\beta$が交わってできる直線を$l$とし，$l$と$xy$平面の交点を$\mathrm{G}\text{，}$$l$と$zx$平面の交点を$\mathrm{H}$とする．

(3)　$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

(4)　$l$上の点$\mathrm{T}$を，実数$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=\overrightarrow{\mathrm{OG}}+t\overrightarrow{\mathrm{GH}}$と表す．$\mathrm{▵OMT}$の面積が最小となる$t$の値を求めよ．

【６】　$C$を$y=3x^2$で定まる曲線とし，$C$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,3a^2)\text{，}$$\mathrm{B}(b,3b^2)$をとる．ただし，$a<b$とする．

(1)　$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を，$a$と$b$を用いて表せ．ただし，積分を用いて計算し，解答欄には積分の計算過程も書くこと．

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$間の距離が$3$のとき，(1)で求めた面積$S$の取りうる値の最大値$T$を求めよ．

(3)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$間の距離が$3$のとき，直線$\mathrm{AB}$は点$(0,7)$を通らないことを示せ．