2025　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】(1)　複素数平面上で，方程式$|z+i|=2|z-\sqrt{3}|$を満たす点$z$全体が表す図形は，中心が$\text{(ア)}\text{，}$半径が$\text{(イ)}$の円である．

【１】(2)　$n$を自然数とする．$1$から$n$までの自然数の中で$6$または$8$または$9$で割り切れるものの個数を$a_n$で表す．このとき，$a_{30}=\text{(ウ)}$となる．また，$a_n=1000$を満たす最大の$n$は$\text{(エ)}$である．

【１】(3)　$f(x)$を微分可能な関数とし，$g(x)=x^3+x$とする．関数$g(x)$は微分可能な逆関数$g^{-1}(x)$をもつ．定数$t$に対して，関数$t^2{x}^2-f(g^{-1}(x))$は$x=t^3+t$で極値をとるとする．このとき，$f^{\prime }(t)$を$t$の多項式で表すと$f^{\prime }(t)=\text{(オ)}$となる．次に，任意の定数$t$に対して，関数$t^2{x}^2-f(g^{-1}(x))$は$x=t^3+t$で極値をとるとする．このとき，$f(0)=-2$ならば$f(1)=\text{(カ)}$である．

【２】　座標平面上の点$\mathrm{P}(1,1)$と点$\mathrm{Q}(1,-1)$および曲線

$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x-4}}$$\text{（}x>4\text{）}$

を考える．

(1)　曲線$C$の接線で点$\mathrm{Q}$を通るものは存在しないことを証明しなさい．

(2)　曲線$C$の接線で点$\mathrm{P}$を通るものを$l$とし，$C$と$l$の接点を$\mathrm{A}$とする．このとき，$l$の方程式は$y=\text{(キ)}$であり，点$\mathrm{A}$の座標は$\text{(ク)}$である．また，曲線$C$上の点$\mathrm{B}$が

$\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

を満たすとき，点$\mathrm{B}$の座標は$\text{(ケ)}$である．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を(2)で定めた点とする．正の数$t$に対し，曲線$C$上の点$\mathrm{R}(t+4,{\displaystyle \frac{1}{t}})$は点$\mathrm{A}$と異なるものとする．線分$\mathrm{AR}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{S}$とし，線分$\mathrm{BS}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{T}(u,v)$とするとき，$u$を$t$の式で表すと$u=\text{(コ)}$である．また，$uv$の値は$t=\text{(サ)}$のとき最小となる．

【３】　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を数直線の原点におき，$1$個のさいころを投げて出た目に応じて$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を動かす．偶数の目が出たときは$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かし，$5$または$6$の目が出たときは$\mathrm{Q}$を正の向きに$1$だけ動かす．たとえば，$6$の目が出たときは$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をともに正の向きに$1$だけ動かす． $\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離が初めて$2$となるまでさいころを投げ続けることとし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離が$2$となったら，それ以降はさいころを投げない．$n$回さいころを投げて$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離が$2$となる確率を$p_n$とする．

(1)　$p_2=\text{(シ)}$である．

(2)　$n$回さいころを投げて，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$よりも正の向きに$1$だけ進んでいる確率を$x_n\text{，}$$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ位置にある確率を$y_n\text{，}$$\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$よりも正の向きに$1$だけ進んでいる確率を$z_n$とすると

$y_{n+1}=\text{(ス)}{x}_n+\text{(セ)}{y}_n+\text{(ソ)}{z}_n$

という関係式が成立する．また，$x_n=\text{(タ)}{z}_n$が成り立つ．ただし，$\text{(ス)}\text{〜}$$\text{(タ)}$には数を記入すること．

(3)　関係式

$z_{n+1}+\alpha y_{n+1}=\beta (z_n+\alpha y_n)$

を満たす定数の組$(\alpha ,\beta )$は，$\text{(チ)}$と$\text{(ツ)}$の$2$組ある．

(4)　$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\text{(テ)}$となる．

【４】　以下の設問では，区間$[a,b]$で連続な関数$f(x)\text{，}$$g(x)\text{，}$$h(x)$に対して，区間$[a,b]$で$f(x)\leqq g(x)$ならば${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)\mathit{dx}\leqq {\displaystyle {\int }_a^b}g(x)\mathit{dx}$であること，および$|{\displaystyle {\int }_a^b}h(x)\mathit{dx}|\leqq {\displaystyle {\int }_a^b}|h(x)|\mathit{dx}$であることをことわりなしに用いてよい．

(1)　自然数$n$に対して$I_n={\displaystyle {\int }_1^n}{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^{\frac{3}{2}}\mathit{dx}$とする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=\text{(ト)}$である．

(2)　自然数$n$に対して$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\left({\displaystyle \frac{1}{k}}\right)}^{\frac{3}{2}}$とする．すべての$n$に対して不等式

$S_n<1+{\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{4}}$

を証明しなさい．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x\cos 5x\mathit{dx}=\text{(ナ)}$である．

(4)　$k$を自然数とするとき，${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}|\sin kx|\mathit{dx}=\text{(ニ)}$である．

(5)　$f(x)$を微分可能な関数とし，$M$を正の定数とする．区間$[0,2\pi ]$で，$f^{\prime }(x)$は連続かつ$|f^{\prime }(x)|\leqq M$と仮定する．自然数$k\text{，}$$n$に対して，$a_k={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(x)\cos kx\mathit{dx}$とし，$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\left|a_k\right|}^{\frac{3}{2}}$とする．このとき，すべての$n$に対して不等式

$T_n<23M^{\frac{3}{2}}$

を証明しなさい．ただし，必要であれば(2)の不等式と(4)の等式を証明なしに用いてよい．

【５】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(x,0)\text{，}$$\mathrm{B}(x,y)\text{，}$$\mathrm{C}(0,y)$をとる．ただし，$\mathrm{B}$は単位円周上を動き，$x>0\text{，}$$y>0$である．このとき，線分$\mathrm{AB}$と$\mathrm{BC}$の長さが等しくなる$x$の値は$x=\text{(ヌ)}$である．

　次に，$n$を$2$以上の整数とし，$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-1$に対して$x={\displaystyle \frac{k}{n}}$のときの線分$\mathrm{AB}$と$\mathrm{BC}$の短い方の長さを$L_n(k)$と表す．$n=4$とすると，$L_4(k)$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$の最大値は$\text{(ネ)}$である．一方，$n=5$のとき$L_5(k)$が最大となる$k$の値は$\text{(ノ)}$と$\text{(ハ)}$の$2$個ある．同様に，$2$以上の整数$a$で，$L_a(k)$が最大となる$k$の値が$2$個あるものを考え，そのような$k$のうち大きい方の値を$m$とおく．このとき，$m$を$a$の式で表すと$m=\text{(ヒ)}$となる．また，$b=3a+4m-2$とおいたとき，$L_b(k)$が最大となる$k$の値も$2$個あり，それらの大きい方を$a$と$m$の$1$次式で表すと$\text{(フ)}$となる．