2025　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】(1)　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}}$の分母を有理化すると$\text{(ア)}$である．

【１】(2)　不等式$2{({\log }_{3}x)}^2+2{\log }_{9}x>1$を解くと$\text{(イ)}$である．

【１】(3)　さいころを$6$回続けて投げる．$3$の倍数の目が出る回数が$2$になる確率は$\text{(ウ)}$である．また，$3$の倍数の目が出た回数が$2$であったとき，その$2$回が続けて起こる条件付き確率は$\text{(エ)}$である．

【１】(4)　関数$y=(2\sin 2x+\sin x)\sin x$$\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$は$x=\text{(オ)}$のとき最大値$\text{(カ)}$をとる．

【２】(1)　$x^3-3x^2+6x-4=0$の解で虚部が正であるものを$\omega$としたとき，$\omega$の絶対値は$\left|\omega \right|=\text{(キ)}$であり，偏角$\theta$は$\theta =\text{(ク)}$である．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．また，${\omega }^{10}=\text{(ケ)}+\text{(コ)}i$である．ただし，$i$は虚数単位とし，$\text{(ケ)}\text{，}$$\text{(コ)}$は実数とする．

【２】(2)　平面上の異なる$2$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})\text{，}$$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$に対して，ベクトル方程式

$2|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|$

を満たす点$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$全体の集合は円となる．この円の中心の位置ベクトルは$\text{(サ)}$で半径は$\text{(シ)}$となる．ただし，$\text{(シ)}$では根号を用いない表記とすること．

【２】(3)　自然数$n$に対して，$3^n-2n-1$が$4$の倍数であることの数学的帰納法を用いた証明を，解答欄(3)に記述しなさい．

【３】　座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(-1,1,6)\text{，}$$\mathrm{B}(0,3,6)\text{，}$$\mathrm{C}(1,1,5)$をとる．

　このとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\text{(ス)}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\text{(セ)}$であり，$\mathrm{\angle BAC}$の大きさを$\theta$とすると，$\sin \theta =\text{(ソ)}$である．ただし，$0<\theta <\pi$とする．また，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\text{(タ)}$である．

　さらに，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面$\mathrm{ABC}$に原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろすと，点$\mathrm{H}$の座標は$\text{(チ)}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\text{(ツ)}$である．

【４】　$k$を実数の定数とし，座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,-3)\text{，}$$\mathrm{B}(-1,k)$をとる．また，放物線$y=x^2$を$C$とする．以下に答えなさい．

(1)　点$\mathrm{A}$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち，傾きが正の接線を$l_1$とし，傾きが負の接線を$l_2$とするとき，直線$l_1$の方程式は$y=\text{(テ)}$であり，直線$l_2$の方程式は$y=\text{(ト)}$である．また，$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$のなす角を$\theta$とすると，$\tan \theta =\text{(ナ)}$である．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．さらに，曲線$C$と$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$で囲まれた図形の面積は$\text{(ニ)}$である．

(2)　点$\mathrm{P}$が曲線$C$全体を動くときの$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最小値を$m$とする．このとき，$m$を$k$を用いて表すと，$k\geqq \text{(ヌ)}$のときは$m=\text{(ネ)}$であり，$k<\text{(ヌ)}$のときは$m=\text{(ノ)}$である．

【５】(1)　$20$人の生徒に，$5$点満点の小テストを行った．次の度数分布表は全員の小テストの得点である．

この小テストの得点の平均値は$\text{(ハ)}\text{，}$分散は$\text{(ヒ)}$である．また，生徒のうちの$1$名の得点が$\text{(フ)}$点から$\text{(ヘ)}$点に変更された場合，生徒全員の得点の平均値は$3\text{，}$分散は$2$となる．

(2)　確率変数$X$と$Y$は独立であり，$X$の平均が$m_x\text{，}$分散が$v_x\text{，}$$Y$の平均が$m_y\text{，}$分散が$v_y$であるとする．また，$a\text{，}$$b$は定数とする．このとき，$aX+bY$の平均は$\text{(ホ)}\text{，}$分散は$\text{(マ)}$である．

(3)　確率変数$X_1\text{，}$$X_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$X_n\text{，}$$X_{n+1}$は互いに独立であり，

$T_n={\displaystyle \frac{1}{n}}(X_1+X_2+\cdots +X_n)$

の平均が$m\text{，}$分散が$v$であるとする．$X_{n+1}$の平均が$m^{\prime }\text{，}$分散が$v^{\prime }$であるとき，

$T_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{n+1}}(X_1+X_2+\cdots +X_n+X_{n+1})$

の平均は$\text{(ミ)}\text{，}$分散は$\text{(ム)}$である．