2025　慶応義塾大学　薬学部MathJax

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{タ}$にあてはまる適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　$a$を実数とする．$x$の$2$次関数$f(x)=x^2-ax+a+2$は，すべての実数$x$に対して$f(x)\geqq 0$を満たす．

(ⅰ)　$a$の値の範囲は$\text{ア}$である．

(ⅱ)　$-2\leqq x\leqq 3$において，$f(x)$の最小値を$m\text{，}$最大値を$M$とおく．$m$が最大となるのは$a=\text{イ}$のときであり，このとき$m=\text{ウ}\text{，}$$M=\text{エ}$である．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{タ}$にあてはまる適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　$a$は$a>0$を満たす実数とする．$xyz$空間に，$6$点$(a,0,0)\text{，}$$(0,a,0)\text{，}$$(0,0,a)\text{，}$$(-a,0,0)\text{，}$$(0,-a,0)\text{，}$$(0,0,-a)$を頂点とする多面体$S$がある．

(ⅰ)　$S$の体積は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　立方体$U$のすべての頂点が$S$の辺上にあるとき，$U$の体積は$\text{カ}$である．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{タ}$にあてはまる適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　実数$x$に対して，関数

$f(x)=\left|{\displaystyle \frac{1}{{10}^{-x}\log {10}^{-x}}}\right|$

は，$x=\text{キ}$のとき最小値$\text{ク}$をとる．ただし，$x$は$x>0$を満たし，対数は自然対数とする．

　なお，$\log 2=0.69\text{，}$$\log 3=1.10\text{，}$$\log 5=1.61\text{，}$自然対数の底$e$は$2.72$として計算し，$\text{キ}$と$\text{ク}$は小数で答えなさい．値が小数第$2$位までで割り切れない場合は，小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めなさい．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{タ}$にあてはまる適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　$xyz$空間において，$xy$平面上に$(0,0,0)$を中心とする半径$2$の円がある．この円と，$(0,0,2\sqrt{3})$を中心とする半径$2$の円を底面とする円柱を，原点を通り$xz$平面と$30$度の角をなす平面によって切断し，$2$つの立体に分ける．いま$2$つの立体のうち，体積の小さい方の立体について考える．その立体の体積を$V\text{，}$切り口の面積を$S_1\text{，}$円柱の側面であった部分の面積を$S_2$とする．

(ⅰ)　$V=\text{ケ}$である．

(ⅱ)　$S_1=\text{コ}\text{，}$$S_2=\text{サ}$である．

【１】　以下の問の$\text{ア}\text{〜}\text{タ}$にあてはまる適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(5)　$n$は$n\geqq 3$を満たす自然数とする．複素数$z$を$z=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$とおき，複素数平面において$z^k$$\text{（}0\leqq k\leqq n-1\text{）}$が表す点を${\mathrm{P}}_k$とする．ただし，$k$は整数，$i$は虚数単位とする．

(ⅰ)　$n$個の点${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{n-1}$を頂点とする正$n$角形の面積を$S_n$とする．$S_n$を$n$の式で表すと$S_n=\text{シ}$であり，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めると$\text{ス}$である．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{z}^k$を求めると$\text{セ}$である．

(ⅲ)　$n=7$とする．三角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_4$の重心を$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$三角形${\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_5{\mathrm{P}}_6$の重心を$\mathrm{B}(\beta )$とおく．複素数$\alpha \text{，}$$\beta$を求めると，$\alpha =\text{ソ}\text{，}$$\beta =\text{タ}$である．

【２】　以下の問の$\text{チ}\text{〜}\text{ト}$にあてはまる適切な式または数を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．(2)は，解答用紙の所定の欄に適切な文章や式を使って記述しなさい．

　薬$\alpha$を病気$\mathrm{X}$にかかっている患者に投与すると，投与された患者のうちの$40\mathrm{\%}$に治療の効果が認められる．この薬$\alpha$に対し，新しく開発した薬$\beta$の方が治療の効果が認められる割合が高いかどうか，有意水準$5\mathrm{\%}$で検定を行う．病気$\mathrm{X}$にかかっている患者から無作為に抽出した$1000$人に薬$\beta$を投与したとき，$n$人以上に治療の効果が認められると，薬$\alpha$よりも薬$\beta$の方が効果が認められる割合が高いと判断される．ただし，薬$\beta$の治療効果の標本比率を$R\text{，}$母比率を$p$とする．

(1)　帰無仮説${\mathrm{H}}_0$と対立仮説${\mathrm{H}}_1$に設定する式は，${\mathrm{H}}_0\text{：}\text{チ}\text{，}$${\mathrm{H}}_1\text{：}\text{ツ}$である．${\mathrm{H}}_0$が正しいと仮定するとき，$R$は近似的に正規分布$N(\text{テ},\text{ト})$に従う．

　なお，$\text{チ}$と$\text{ツ}$にはあてはまる適切な式，$\text{テ}$と$\text{ト}$にはあてはまる適切な数をかきなさい．

(2)　(1)をふまえ，$n$のとりうる最小の値を求めなさい．ただし，解答欄には最小の値を求めるまでの過程も示し，その説明には「標準正規分布」と「棄却域」という言葉を含めなさい．

　なお，$\sqrt{2}=1.4\text{，}$ $\sqrt{3}=1.7\text{，}$$\sqrt{5}=2.2$として計算し，必要に応じて正規分布表を用いなさい．

【３】　以下の問の$\text{ナ}\text{〜}\text{ネ}$にあてはまる適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　実数$x$に対して，関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}x+\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{9}}{x}^2+8}$

がある．ただし，定義域は$x\geqq 0$である．

　$y=f(x)$の逆関数を$y=g(x)$とする．

(1)　$g(x)$を求めると，$g(x)=\text{ナ}$であり，$g(x)$の定義域は$\text{ニ}$である．

(2)　${\displaystyle {\int }_{2\sqrt{2}}^4}g(x)\mathit{dx}$を求めると$\text{ヌ}$である．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^3}f(x)\mathit{dx}$を求めると$\text{ネ}$である．

【４】　以下の問の$\text{ノ}\text{〜}$$\text{ヘ}$にあてはまる適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　当たりくじが$3$本入っている$9$本のくじがある．このくじを無作為に$1$本引き，当たりくじかどうかを確認してから元に戻す試行を，当たりくじが出るまで繰り返す．当たりくじが出たときのみ得点を得ることができ，$n$回目の試行で当たりくじが出た場合，得られる得点は$50n$点とする．

　$n$回目に得られる得点の期待値を$E_n$とする．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　$5$回目までに当たりくじが出る確率は$\text{ノ}$である．

(2)　${\displaystyle \frac{E_n}{E_{n+1}}}={\displaystyle \frac{10}{7}}$であるとき，$n=\text{ハ}$である．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{E_n}{E_{n+1}}}$を求めると$\text{ヒ}$である．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{E}_k$を$n$の式で表すと$\text{フ}$であり，${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{E}_k$を求めると$\text{ヘ}$である．ただし，$\left|r\right|<1$を満たす実数$r$に対し，$\underset{n\to \infty }{\lim }n\times r^n=0$が成り立つこととする．