2025　学習院大学　理(プラス)学部MathJax

【１】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において

$f(x)=(1-\cos x)(1-\cos 3x)$

と定める．

(1)　$\cos x=t$とおく．$f(x)$を$t$の式として表せ．

(2)　$x$が$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，関数$f(x)$の最大値を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【２】　曲線

$y=e^{1-x}+\cos \pi x$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$

と，$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　中の見えない箱の中に，青色のカードが$3$枚，黄色のカードが$4$枚，赤色のカードが$5$枚，合計$12$枚のカードが入っている．この箱から$3$枚のカードを同時にとり出すとき，

・少なくとも$1$枚のカードが青色である事象を$A$

・$3$枚のカードの色がすべて同じである事象を$B$

とする．

(1)　事象$A\cup B$が起こる確率を求めよ．

(2)　事象$A\cap \bar{B}$が起こる確率を求めよ．ただし，$\bar{B}$は$B$の余事象を表す．

(3)　事象$A$と事象$B$のどちらか一方だけが起こる確率を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．また，答えが分数になる場合は既約分数で答えよ．

【４】　$a$を実数とする．関数

$f(x)={\displaystyle \frac{a}{x+1}}+\log x$

が$0<x<2$において極小値を持つような$a$の範囲を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．