2025　学習院大学　推薦数学科MathJax

【１】　$a$を$0$でない実数，$b$を実数とする．$2$つの曲線$C_1\text{，}$$C_2$を

$C_1\text{：}y=x^3-16x$

$C_2\text{：}y=a{x}^2+bx-18$

と定める．$C_1\text{，}$$C_2$は共に点$\mathrm{P}(3,-21)$を通り，さらに点$\mathrm{P}$において接線を共有しているとする．

(1)　$a\text{，}$$b$を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】(1)　不定積分

${\displaystyle \int }(x^2-3)e^{-x}\mathit{dx}$

を求めよ．

【２】(2)　$a$を実数とする．放物線$y=x^2-3$と曲線$y=a{e}^x$が丁度$3$点で交わるような$a$の範囲を求めよ．

【３】　一つのさいころを$6$回投げて，$k$回目に出た目を$a_k$とする．$m=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$に対して，

$S_m={\displaystyle \sum _{k=1}^m}{a}_k^2$

と定める．

(1)　$S_3$が$3$で割り切れる確率を求めよ．

(2)　$S_6$が$3$で割り切れる確率を求めよ．

(3)　$S_6$が$3$で割り切れるとき，$S_5$が$3$で割り切れる確率を求めよ．

【４】　平面上の三角形$\mathrm{ABC}$が

$\mathrm{AC}=2$

$\mathrm{\angle C}=2\mathrm{\angle B}$

を満たすとする．

(1)　$\mathrm{\angle B}=15\mathrm{°}$のとき，$\mathrm{AB}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{BC}=5$のとき，$\mathrm{AB}$を求めよ．