2025　学習院大学　法(コア),国際社会科(プラス)学部MathJax

【１】　$2$個のさいころを同時に投げる試行を考える．

(1)　試行を$3$回繰り返すとき，$3$回とも$2$個のさいころの目が等しい確率を求めよ．

(2)　試行を$3$回繰り返すとき，$3$回とも$2$個のさいころのうち少なくとも$1$個のさいころの目が$5$以上である確率を求めよ．

(3)　試行を$3$回繰り返すとき，少なくとも$1$回は$2$個のさいころの目がどちらも奇数である確率を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．また，答えが分数になる場合は既約分数で答えよ．

【２】　$a$を正の実数とする．実数$x$に関する条件$p$および$q$を

$p\text{：}|2x-1|\leqq 2$

$q\text{：}{x}^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}x\leqq a$

と定める．

(1)　$p$が$q$であるための必要条件であるような$a$の範囲を求めよ．

(2)　$p$が$q$であるための十分条件であるような$a$の範囲を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{BC}=7\text{，}$$\mathrm{CA}=8$とする．

(1)　$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$のうち，最大のものを$\theta$とする．$\cos \theta$を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろす．長さの比$\mathrm{BH}:\mathrm{HC}$を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【４】　曲線

$C\text{：}y=x^3-3x^2+x-3$

を考え，$C$上に点$\mathrm{P}(2,-5)$をとる．$\mathrm{P}$における$C$の接線を$L$とし，$C$と$L$の共有点で$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$L$の方程式および$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　原点を$\mathrm{O}$とするとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を求めよ．

(3)　$L$と$C$とで囲まれた領域の面積を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．