2025　学習院大学　理(コア),文(プラス)学部MathJax

【１】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\cos }^{4}x\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(2)　$n$を$1$より大きい整数とする．不等式

${\displaystyle \frac{1}{{\log }_{2}5}}+{\displaystyle \frac{2}{{\log }_{n}5}}<4$

を満たす最大の$n$を求めよ．

【２】　実数$x\text{，}$$y$が$2$つの不等式

$x^2+y^2\leqq 4\text{，}$$x+y\geqq 1$

を満たすとき，$x+2y$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値を与える$x\text{，}$$y$および最小値を与える$x\text{，}$$y$を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　$5$枚の封筒に$1$から$5$までの数字が$1$つずつ書かれている．また，$5$枚のカードに$1$から$5$までの数字が$1$つずつ書かれている．$5$枚のカードを$1$枚ずつ封筒の中に入れる．

(1)　封筒の数字と中のカードの数字の和が，$5$つとも偶数であるようなカードの入れ方は何通りあるか．

(2)　封筒の数字と中のカードの数字が，ちょうど$1$組だけ一致するようなカードの入れ方は何通りあるか．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【４】　放物線$C\text{：}y=x^2+7$の$y$軸の右側にある部分に，点$\mathrm{P}(t,t^2+7)$がある$\text{（}t>0\text{）．}$点$\mathrm{P}$での$C$の接線と法線をそれぞれ$L\text{，}$$N$とする．さらに，$L\text{，}$$N$と$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$として，三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S$とする．

(1)　$L$および$N$の方程式を求めよ．

(2)　$S$を$t$の式で表し，$4tS$が${(t^2+7)}^2$で割り切れる整式であることを示せ．

(3)　$t$が正の実数全体を動くとき，$S$の最小値を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．