2025　青山学院大学　経済学部B方式MathJax

【１】(1)　ある正の整数を$15$で割ると$8$余り，$8$で割ると割り切れず$a$余る．この数を$120$で割った余りは，$\text{1}\text{2}\text{3}-\text{4}\text{5}a$である．

【１】(2)　$|x^3+3x^2-45x+81|-n=0$を満たす実数$x$の個数が$3$個であるのは$n=\text{6}\text{7}\text{8}\text{，}$$4$個であるのは$\text{9}<n<\text{10}\text{11}\text{12}$のときである．

【１】(3)　直線$l$は，放物線$C\text{：}y=x^2$上の点$({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{9}})$における接線に直交し，放物線$C$にも接する．

1．直線$l$は，$y={\displaystyle \frac{\text{13}\text{14}}{\text{15}}}x-{\displaystyle \frac{\text{16}}{\text{17}\text{18}}}$である．

2．直線$l$と放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積は，${\displaystyle \frac{\text{19}}{\text{20}\text{21}\text{22}}}$である．

【２】(1)　$y\geqq 5\text{，}$$y\leqq -x^2+4x+n^2+1$を同時に満たす整数の組$(x,y)$の個数$S$を求める．

1．$n=5$のとき，$S=\text{23}\text{24}\text{25}$である．

2．$n$を正の整数とするとき，$S={\displaystyle \frac{\text{26}{n}^3+\text{27}n+\text{28}}{\text{29}}}$である．

【２】(2)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle B}=30\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{CA}=6\text{，}$$\mathrm{AB}=6\sqrt{3}$とし，内接円の半径を$r$とする．ここで，$\mathrm{\angle C}$が鋭角のとき，$\mathrm{\angle C}=\text{30}\text{31}\mathrm{°}\text{，}$$r=\text{32}\sqrt{\text{33}}-\text{34}$である．$\mathrm{\angle C}$が鈍角のとき，$\mathrm{\angle C}=\text{35}\text{36}\text{37}\mathrm{°}\text{，}$$r=\text{38}\sqrt{\text{39}}-\text{40}$である．

【２】(3)　辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{L}$とし，線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

1．$\overrightarrow{\mathrm{LM}}$の大きさは，${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{41}\text{42}}}{\text{43}\text{44}}}$である．

2．$\cos \mathrm{\angle LCM}$は，${\displaystyle \frac{\text{45}\text{46}\sqrt{\text{47}\text{48}}}{\text{49}\text{50}\text{51}}}$である．

3．線分$\mathrm{LM}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{N}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{LM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CN}}$が直交するのは，$t={\displaystyle \frac{\text{52}\text{53}}{\text{54}\text{55}}}$のときである．

【３】(1)　ある地方都市で$400$人を無作為に選んで調べたところ，$\mathrm{A}$党の支持者が$200$人であった．この都市における$\mathrm{A}$党の支持率$p$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を，四捨五入して小数第$2$位まで求めると$0.\text{56}\text{57}\leqq p\leqq 0.\text{58}\text{59}$となる．

【３】(2)　ある検定試験の得点の母標準偏差$\sigma$は$20$点であると予想されている．この予想が正しいものとし，母平均$m$を信頼度$95\mathrm{\%}$で推定するとき，信頼区間の幅を$4$点以下にするためには，少なくとも$\text{60}\text{61}\text{62}$人を抽出して調べればよい．

【３】(3)　確率変数$X$の平均を$1\text{，}$分散を$16$とする．$a$を正の定数，$b$を定数とするとき，$Z=aX+b$で表される確率変数$Z$の平均が$2\text{，}$分散が$1$となるのは，$a={\displaystyle \frac{\text{63}}{\text{64}}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\text{65}}{\text{66}}}$のときである．

【４】　友人たちとパーティーをするために，合計$10000$円を全員で出し合って，ジュースとドーナツを購入することにした．いま，ジュース$1$本の価格が$150$円，ドーナツ$1$個の価格が$200$円として，次の問いに答えよ．ただし，購入するジュースの本数を$x\text{，}$ドーナツの個数を$y$とし，$x$と$y$はそれぞれ非負の整数とする．

【５】　$3x+5y=1080$を満たす正の整数$x$と$y$について，次の問いに答えよ．ただし，答えに至る過程を記述すること．