2025　青山学院大学　理工学部B方式MathJax

$\alpha +\beta +\gamma =21$

${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=191$

${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3=2025$

が成り立つとする．このとき

$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\text{1}\text{2}\text{3}$

である．また

$(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )$$=21\times \text{1}\text{2}\text{3}$

$(\alpha +\beta +\gamma )({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)$$=21\times 191$

より，

$\alpha \beta \gamma =\text{4}\text{5}\text{6}$

である．

　$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$は$3$次方程式

$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=0$

の解であるから，

$\alpha =\text{7}\text{，}$$\beta =\text{8}-\sqrt{\text{9}\text{10}}\text{，}$$\gamma =\text{8}+\sqrt{\text{9}\text{10}}$

である．

$\mathrm{OA}=\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{7}\text{，}$$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$

を満たすとする．また，直線$\mathrm{OB}$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$2$直線$\mathrm{CM}\text{，}$$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\text{11}$

(2)　$\mathrm{▵OAB}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{12}\text{13}}}{\text{14}}}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OA}}={\displaystyle \frac{\text{15}}{\text{16}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{\text{17}}{\text{18}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\text{19}}{\text{20}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

(5)　$\mathrm{▵BMD}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{21}\sqrt{\text{22}\text{23}}}{\text{24}\text{25}}}$である．

$C\text{：}y=x^2$$-(2\sin t)x$$+\sin t\cos t$

の頂点を$\mathrm{P}$とおくとき，以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　放物線$C$と$x$軸の正の部分が異なる$2$点で交わるような$t$の値の範囲を求めよ．

(3)　$t$が$0\leqq t\leqq \pi$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$t$の値を求めよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{a_k}{k(k+1)}}$$={\displaystyle \frac{\log (1+n)}{1+n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとき，以下の問に答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n{e}^{a_n}$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{a_k-a_{k-1}}{k}}$を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{2}{e^{2x}-3e^x}}+1$$\text{（}x<\log 3\text{）}$

について，以下の問に答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の座標を求めよ．

(2)　$y=f(x)$の増減と極値を調べ，グラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

(3)　等式${\displaystyle \frac{1}{t^2(t-3)}}={\displaystyle \frac{a}{t}}$$+{\displaystyle \frac{b}{t^2}}$$+{\displaystyle \frac{c}{t-3}}$が$t$についての恒等式となるように，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を定めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．