2025　青山学院大学　理工学部A方式MathJax

1．原点$\mathrm{O}$から$x$軸の正の向きに$X_1$だけ進んだ位置にある点を${\mathrm{P}}_1$とする．

2．${\mathrm{P}}_1$から$y$軸の正の向きに$X_2$だけ進んだ位置にある点を${\mathrm{P}}_2$とする．

3．${\mathrm{P}}_2$から$x$軸の負の向きに$X_3$だけ進んだ位置にある点を${\mathrm{P}}_3$とする．

4．${\mathrm{P}}_3$から$y$軸の負の向きに$X_4$だけ進んだ位置にある点を${\mathrm{P}}_4$とする．

例えば，さいころの出た目が順に$3\text{，}$$2\text{，}$$5\text{，}$$5$ならば，${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4$の座標はそれぞれ$(3,0)\text{，}$$(3,2)\text{，}$$(-2,2)\text{，}$$(-2,-3)$となる．

(1)　${\mathrm{P}}_4$が$\mathrm{O}$と一致する確率は${\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}\text{3}}}$である．

(2)　線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$と線分${\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$が共有点をもつ確率は${\displaystyle \frac{\text{4}\text{5}}{\text{6}\text{7}\text{8}}}$である．ただし，線分は両方の端点を含むものとする．

(3)　${\mathrm{P}}_4$の座標が$(3,3)$である確率は${\displaystyle \frac{\text{9}}{\text{10}\text{11}\text{12}}}$である．

$z^2-4iz=4\sqrt{3}i$$\cdots$(＊)

の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\left|\alpha \right|<\left|\beta \right|\text{）}$とし，$\alpha \text{，}$$\beta$が表す複素数平面上の点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．

(1)　方程式(＊)は

${(z-\text{13}i)}^2$$=\text{14}(\cos {\displaystyle \frac{\text{15}}{\text{16}}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{\text{15}}{\text{16}}}\pi )$$(0\leqq {\displaystyle \frac{\text{15}}{\text{16}}}\pi <2\pi )$

と表せるので，

$\alpha =-\sqrt{\text{17}}+(\text{18}-\sqrt{\text{19}})i$

である．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の長さは$\text{20}\sqrt{\text{21}}$である．また，線分$\mathrm{AB}$を対角線とする正方形の残りの$2$頂点を表す複素数は

$-\sqrt{\text{22}}+(\text{23}+\sqrt{\text{24}})i$と$\sqrt{\text{22}}+(\text{23}-\sqrt{\text{24}})i$

である．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$において，曲線$y=f(x)$の概形を描け．ただし，凹凸は調べなくてよい．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$において，$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$の共有点の座標を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq \pi$において，$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(a)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の$x$座標は等しく，$\mathrm{Q}$の$y$座標は正である．

(b)　$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QB}=4$

このとき，以下の問に答えよ．ただし，線分は両方の端点を含むものとする．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を$(s,0)$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$s$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．

(3)　$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する部分の面積を求めよ．

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3$

を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=k$とおくとき，以下の問に答えよ．

(1)　$k$のとり得る値の範囲を求めよ．

　上で与えた$\mathrm{▵OAB}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$からそれぞれの対辺に下ろした$2$本の垂線の交点を$\mathrm{H}$とし，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$k$を用いて表せ．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{C}$が同一直線上にあるとき，$k$の値と${\displaystyle \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{OC}}}$を求めよ．