2025　青山学院大学　全学部日程理系MathJax

【１】　右のような$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．

　次の操作に従って正三角形$\mathrm{ABC}$の辺上を動く点$\mathrm{P}$がある．

操作：青球$2$個，赤球$2$個，白球$1$個が入った袋から球を$1$個取り出し，色を調べてからもとに戻す．取り出した球が青球ならば点$\mathrm{P}$を時計回りに$1$だけ移動させ，赤球ならば点$\mathrm{P}$を反時計回りに$1$だけ移動させる．また，取り出した球が白球ならば点$\mathrm{P}$を頂点$\mathrm{A}$に移動させる．ただし，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にあるときに取り出した球が白球ならば点$\mathrm{P}$を動かさない．

　最初に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にあるとし，上の操作を$n$回くり返した後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率を$p_n$とする．

(1)　$p_1={\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}}\text{，}$$p_2={\displaystyle \frac{\text{3}\text{4}}{\text{5}\text{6}}}$である．

(2)　数列$\{p_n\}$は漸化式

$p_{n+1}={\displaystyle \frac{\text{7}\text{8}}{\text{9}}}{p}_n+{\displaystyle \frac{\text{10}}{\text{11}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす．

(3)　数列$\{p_n\}$の一般項は

$p_n={\displaystyle \frac{\text{12}}{\text{13}}}{\left({\displaystyle \frac{\text{14}\text{15}}{\text{16}}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{\text{17}}{\text{18}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．

　$x$についての$3$次方程式

$a{x}^3$$-(3a-12)x^2$$+(2a-11)x$$+b=0$$\cdots$(＊)

が$1$つの実数解と$2$つの虚数解をもつとする．実数解は$1$であるとする．

(1)　$b=\text{19}\text{20}$であり，方程式(＊)は

$(x-1)\{a{x}^2$$-(\text{21}a-\text{22}\text{23})x$$+\text{24}\}=0$

と表せる．

(2)　$a$のとり得る値の範囲は

$\text{25}<a<\text{26}$

である．

(3)　方程式(＊)の$2$つの虚数解の実部が負であり，かつ$a$が整数ならば，$a=\text{27}$である．このとき，方程式(＊)の$2$つの虚数解は

${\displaystyle \frac{\text{28}\text{29}}{\text{30}}}\pm {\displaystyle \frac{\text{31}}{\text{32}}}i$

である．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標は$({\displaystyle \frac{\sqrt{\text{33}}}{\text{34}}},\text{35})$である．

(2)　$\mathrm{\angle PAQ}={\displaystyle \frac{\text{36}}{\text{37}}}\pi$である．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$と$C_2$で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{38}}}{\text{39}}}$である．

　また，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\text{40}}{\text{41}}}\pi -{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{42}}}{\text{43}}}$である．

$\mathrm{OB}=5\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{AB}=7\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{\angle COA}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$$\mathrm{\angle COB}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

であるとし，点$\mathrm{C}$から$xy$平面に下ろした垂線と$xy$平面との交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標は$(\text{44},\text{45},0)$である．

(2)　点$\mathrm{H}$の$x$座標を$a$とするとき，点$\mathrm{H}$の$y$座標は${\displaystyle \frac{\text{46}}{\text{47}}}a$である．

(3)　点$\mathrm{H}$が$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線上にあるのは，$\mathrm{OC}=\text{48}$のときである．

　このとき，点$\mathrm{C}$の座標は$({\displaystyle \frac{\text{49}}{\text{50}}},{\displaystyle \frac{\text{51}}{\text{52}}},{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{53}\text{54}}}{\text{55}}})$である．

$f(x)=\log {\displaystyle \frac{\sqrt{3}x+1}{x^2+1}}$$(x>-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$

と$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．

(1)　$C$と$x$軸との共有点の$x$座標は，$x=\text{56}\text{，}$$\sqrt{\text{57}}$である．

(2)　$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{58}}}{\text{59}}}$で極大値

$\log a$$(a={\displaystyle \frac{\text{60}}{\text{61}}})$

をとる．

(3)　$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積は

$\sqrt{\text{62}}$$+{\displaystyle \frac{\text{63}\sqrt{\text{64}}}{\text{65}}}\log \text{66}$$-{\displaystyle \frac{\text{67}}{\text{68}}}\pi$

である．