2025　青山学院大学　全学部日程文系MathJax

$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{BC}=2\text{，}$$\mathrm{CD}=4\text{，}$$\mathrm{DA}=5$

であるとする．

(1)　$\cos \mathrm{\angle BAD}={\displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}\text{3}}}$である．

(2)　$\mathrm{▵ABD}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{4}\text{5}\sqrt{\text{6}\text{7}}}{\text{8}\text{9}}}$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\text{10}\sqrt{\text{11}\text{12}}$である．

(3)　対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とすると${\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{CE}}}={\displaystyle \frac{\text{13}}{\text{14}}}$である．

　この手順を$2$回行い，$1$回目，$2$回目に得られる文字列をそれぞれ$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$とする．

(1)　$\mathrm{S}$と$\mathrm{T}$がともに$\mathrm{AGG}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{15}\text{16}}{\text{17}\text{18}\text{19}}}$である．

(2)　$\mathrm{S}$に含まれる$\mathrm{A}$の個数がちょうど$1$個のとき，$\mathrm{S}$と$\mathrm{T}$が一致する条件付き確率は${\displaystyle \frac{\text{20}}{\text{21}\text{22}}}$である．

(3)　$\mathrm{S}$に含まれる$\mathrm{A}$の個数がちょうど$1$個であり，かつ$\mathrm{S}$と$\mathrm{T}$が一致する確率は${\displaystyle \frac{\text{23}\text{24}}{\text{25}\text{26}\text{27}}}$である．

(4)　$\mathrm{S}$と$\mathrm{T}$が一致する確率は${\displaystyle \frac{\text{28}\text{29}\text{30}}{\text{31}\text{32}\text{33}}}$である．

$S_n={\displaystyle \frac{3}{2}}{a}_n$$+{\displaystyle \frac{5}{4}}{n}^2$$-{\displaystyle \frac{1}{4}}n-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つとする．

(1)　$a_1=\text{34}$である．

(2)　数列$\{a_n\}$は漸化式

$a_{n+1}=\text{35}{a}_n$$-\text{36}n-\text{37}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす．

(3)　$k\text{，}$$l$を定数として

$b_n=a_n+kn+l$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．このとき，

$k={\displaystyle \frac{\text{38}\text{39}}{\text{40}}}\text{，}$$l={\displaystyle \frac{\text{41}\text{42}}{\text{43}}}$

であれば，数列$\{b_n\}$は等比数列になる．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項は

$a_n={\displaystyle \frac{\text{44}\text{45}}{\text{46}}}{\text{47}}^n$$+{\displaystyle \frac{\text{48}}{\text{49}}}n$$+{\displaystyle \frac{\text{50}}{\text{51}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点は$({\displaystyle \frac{\text{52}}{\text{53}}},{\displaystyle \frac{\text{54}\text{55}}{\text{56}}})$である．

(2)　点$(a,a^2)$における$C_1$の接線$l$が$C_2$にも接するとき，$a={\displaystyle \frac{\text{57}}{\text{58}}}$であり，$l$の方程式は$y=\text{59}x-{\displaystyle \frac{\text{60}}{\text{61}}}$である．また，このとき$l$と$C_2$の接点は$({\displaystyle \frac{\text{62}}{\text{63}}},{\displaystyle \frac{\text{64}\text{65}}{\text{66}}})$である．

(3)　(2)で求めた接線$l$と$2$曲線$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\text{67}}{\text{68}}}$である．