2025　自治医科大　看護学部MathJax

【１】　以下の空欄に当てはまる数字または符号を解答用紙の該当欄にマークしなさい．

(1)　$x={\displaystyle \frac{3}{3+2\sqrt{2}}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{3}{3-2\sqrt{2}}}$とおくとき，$x+y=\text{アイ}\text{，}$$xy=\text{ウ}$である．また，$\sqrt{x^2+y^2}$の整数部分は$\text{エオ}$である．

【１】　以下の空欄に当てはまる数字または符号を解答用紙の該当欄にマークしなさい．

(2)　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

　また，直線$\mathrm{DE}$と三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の$2$つの交点を$\mathrm{P}$に近い方から順に$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PA}}}=\text{カ}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{DE}}}={\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$である．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{PAD}$の面積は三角形$\mathrm{CDE}$の面積の${\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}$倍である．

(ⅲ)　$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{QR}={\displaystyle \frac{13}{2}}$のとき，$\mathrm{PQ}={\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}$である．

【１】　以下の空欄に当てはまる数字または符号を解答用紙の該当欄にマークしなさい．

(3)　$a$を実数の定数とする．$x$の不等式$|x-2a|\leqq 1$を満たす実数$x$の範囲は$\text{スセ}+\text{ソ}a$$\leqq x$$\leqq \text{タ}+\text{チ}a$であり，この範囲の$x$がすべて$x\geqq 3$を満たすならば，$\text{ツ}\leqq a$である．

　また，$|x-2a|\leqq 1$を満たす整数$x$の個数は$\text{テ}$または$\text{ト}$である．ただし，$\text{テ}<\text{ト}$とする．

【２】　以下の空欄に当てはまる数字または符号を解答用紙の該当欄にマークしなさい．

　$k$を実数の定数として$f(x)=x^2$$-(2k-4)x+3k^2-4k-15$とおく．座標平面上の放物線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)　$C$が$y$軸の正の部分と共有点をもつとき，$k$のとり得る値の範囲は$k<{\displaystyle \frac{\text{アイ}}{\text{ウ}}}\text{，}$$\text{エ}<k$である．

　また，$C$が$x$軸と異なる$2$つの共有点をもつとき，$k$のとり得る値の範囲は$-{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{オカ}}}{\text{キ}}}k<{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{オカ}}}{\text{キ}}}$である．

　さらに，$C$が$x$軸の正の部分と異なる$2$つの共有点をもつとき，$k$のとり得る値の範囲は$\text{ク}<k<{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ケコ}}}{\text{サ}}}$である．

(2)　$g(x)=f(x)+1$とおく．方程式$g(x)=0$が実数$\alpha \text{，}$$\beta$を解にもち，$\alpha \leqq 1\leqq \beta$が成り立つとき，$k$のとり得る値の範囲は$\text{シス}\leqq k\leqq \text{セ}$である．

(3)　$k$は前問(2)で求めた範囲の値をとるものとする．

　$f(x)$の$-1\leqq x\leqq 2$における最小値を$m(k)$とすると

$\text{シス}\leqq k\leqq \text{ソ}$のとき，$m(k)=\text{タ}{k}^2-\text{チ}k-\text{ツテ}$

$\text{ソ}\leqq k\leqq \text{セ}$のとき，　$m(k)=\text{ト}{k}^2-\text{ナニ}$

である．

【３】　以下の空欄に当てはまる数字または符号を解答用紙の該当欄にマークしなさい．

　右図のような一辺の長さが$4$の立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$において，辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AL}=3$を満たす点$\mathrm{L}$を，辺$\mathrm{CD}$上に$\mathrm{CM}=3$を満たす点$\mathrm{M}$をとる．

(1)　$\mathrm{EL}=\text{ア}\text{，}$$\mathrm{LM}=\text{イ}\sqrt{\text{ウ}}\text{，}$$\mathrm{ME}=\sqrt{\text{エオ}}$である．

(2)　前問(1)の結果より，$\mathrm{\angle ELM}=\theta$とするとき，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\text{カ}\sqrt{\text{キ}}}{\text{クケ}}}$である．

　三角形$\mathrm{ELM}$の面積は$\text{コ}\sqrt{\text{サシ}}$であり，さらに前問(1)の結果を用いれば，三角形$\mathrm{ELM}$の内接円の半径が${\displaystyle \frac{\text{ス}\sqrt{\text{セソ}}}{\text{ア}+\text{イ}\sqrt{\text{ウ}}+\sqrt{\text{エオ}}}}$であることがわかる．

(3)　四面体$\mathrm{AELM}$の表面積は$\text{タ}(\text{チ}$$+\sqrt{\text{ツテ}}$$+\sqrt{\text{サシ}})\text{，}$体積は$\text{ト}$であり，四面体$\mathrm{AELM}$の$4$つの面すべてに接する球の半径は${\displaystyle \frac{\text{ナニ}}{\text{チ}+\sqrt{\text{ツテ}}+\sqrt{\text{サシ}}}}$である．

【４】　以下の空欄に当てはまる数字または符号を解答用紙の該当欄にマークしなさい．

　座標平面上を動く点$\mathrm{P}$は初め原点$\mathrm{O}$にあり，$1$回につき$x$軸の正の向きか，$y$軸の正の向きのいずれかに距離$1$ずつ進み，点$\mathrm{A}(5,5)$に向かうものとする．

　なお，右図において，進み方の一例を矢印で示している．

(1)　$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$まで進む進み方は全部で$\text{アイウ}$通りある．

(2)　$\mathrm{O}$から点$\mathrm{B}(2,3)$を通って$\mathrm{A}$まで進む進み方は$\text{エオカ}$通り，$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}(3,4)$を通って$\mathrm{A}$まで進む進み方は$\text{キクケ}$通り，$\mathrm{O}$から$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の両方を通って$\mathrm{A}$まで進む進み方は$\text{コサ}$通りある．

　したがって，$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の両方を通らずに$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$まで進む進み方は$\text{シスセ}$通りある．

(3)　各点において，表と裏が等しい確率で出るコインを投げ，表が出たら$x$軸の正の向きに，裏が出たら$y$軸の正の向きに進むものとする．

　このとき，$\mathrm{O}$からちょうど$10$回進んで$\mathrm{A}$にたどり着く確率は${\displaystyle \frac{\text{ソタ}}{\text{チツテ}}}$である．

(4)　直線$x=5$上の各点においては必ず$y$軸の正の向きに進み，直線$y=5$上の各点においては必ず$x$軸の正の向きに進むものとする．

　また，それ以外の各点においては，前問(3)と同様のコインを投げ，表が出たら$x$軸の正の向きに，裏が出たら$y$軸の正の向きに進むものとする．

　このとき，$\mathrm{O}$から点$\mathrm{D}(3,3)$を通り$\mathrm{A}$にたどり着く確率は${\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナニ}}}$である．