2025　自治医科大　医学科２次試験MathJax

【１】　座標平面上（原点を$\mathrm{O}$とする）において，円$C\text{：}{(x-7)}^2$$+{(y-7)}^2$$=17\text{，}$直線$l_1\text{：}x+y=9\text{，}$直線$l_2\text{：}mx-y-m+8=0$$\text{（}m>-1\text{，}$$m$は実数）について考える．

　点$\mathrm{A}$の座標を$(1,8)\text{，}$円$C$の中心の点を$\mathrm{B}$とする．

　直線$l_1$と円$C$との異なる$2$つの交点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする$\text{（}2$つの交点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$のうち点$\mathrm{A}$に近い点を$\mathrm{Q}$とする）．

　以下の設問に答えよ．

1)　直線$l_1$と円$C$との$2$つの交点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の座標を求め，線分$\mathrm{AQ}$と線分$\mathrm{AR}$の長さを求めよ．

2)　直線$l_2$が円$C$と異なる$2$つの点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{S}$で交わる場合$\text{（}2$つの交点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{S}$のうち点$\mathrm{A}$に近い点を$\mathrm{P}$とする）のとりうる値の範囲を求めよ．

　以下の設問3)，4)，5)は設問2)の条件を満たすものとする．

3)　$\mathrm{PQ}⫽\mathrm{SR}$となるとき，$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}\text{，}$$\mathrm{AR}=\mathrm{AS}$であることを示すとともに，直線$\mathrm{AB}$が$\mathrm{\angle SAR}$の二等分線となることを証明せよ．

4)　$\mathrm{PQ}⫽\mathrm{SR}$となるときの$m$の値を求めよ．

5)　$\mathrm{PQ}⫽\mathrm{SR}$であるとき，四角形$\mathrm{PQRS}$の面積を求めよ．