2025　自治医科大　医学科１次試験MathJax

【１】　$4$つの多項式（整式），$P=a{x}^3$$+b{x}^2$$+cx+3$$\text{（}a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数，$a\ne 0\text{），}$$Q=3x+1\text{，}$$R=2x-1\text{，}$$S=x-3$について考える．多項式$P$は多項式$Q\text{，}$多項式$R\text{，}$多項式$S$で割り切れるとする．$|ac+b|$の値を求めよ．

【２】　実数$x\text{，}$$y$は$x^2+4xy$$+12x$$+8y^2$$+72=0$を満たす．$|x+y|$の値を求めよ．

【３】　$2$つの複素数$p={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\text{，}$$q=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$\text{（}{i}^2=-1\text{）}$について考える．

　$|p^{16}{q}^{13}+p^{26}{q}^{22}$$+p^{35}{q}^{33}$$+p^{45}{q}^{42}$$+p^{14}{q}^{13}$$+p^{54}{q}^{52}$$+p^{33}{q}^{32}$$+p^{12}{q}^{13}+6|$の値を求めよ．

【４】　方程式${\sin }^{2}x-2k\cos x$$-3k-1=0$$\text{（}k$は実数）を満たす実数$x$が存在するときの$k$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．$|M+m|$の値を求めよ．

【５】　$A={\displaystyle \sum _{k=1}^{20}}\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{3}}\text{，}$$B={\displaystyle \sum _{k=1}^{20}}\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{3}}$とする．${(A+B)}^2$の値を求めよ．

【６】　$3$個の自然数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$と$4$個の$0$以上の整数$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$について考える．$1\leqq a$$<b$$<c$$\leqq 20$を満たす$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の組の個数を$G\text{，}$$p+q$$+r$$+s=19$を満たす$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$の組の個数を$H$とする．${\displaystyle \frac{|G-H|}{50}}$の値を求めよ．

【７】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$について考える．辺$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，$\mathrm{▵CPD}$の面積の最小値を$S$とする．${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{S}}$の値を求めよ．

【８】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{AC}=6\text{，}$$\mathrm{BC}=k$$\text{（}k$は正の実数）とする．$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle A}\text{，}$$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$の大きさを，それぞれ$A\text{，}$$B\text{，}$$C$と表記する．$k\cos B$$=6\cos A+3$が成立しているとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とする．${\displaystyle \frac{S^2}{9}}$の値を求めよ．

【９】　自然数$N$について考える．

　$N$を$5$で割ったときのとりうる余りは，$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の$5$種類あり，$5$種類のとりうる余りの総和は$10$となる．

　$N^2$を$5$で割ったときのとりうる余りは$a$種類あり，$a$種類のとりうる余りの総和は$S_a$である．

　同様に，$N^3$を$5$で割ったときのとりうる余りは$b$種類であり，$b$種類のとりうる余りの総和は$S_b$となり，$N^4$を$5$で割ったときのとりうる余りは$c$種類であり，$c$種類のとりうる余りの総和は$S_c$となる．

　ただし，$N\text{，}$$N^2\text{，}$$N^3\text{，}$$N^4$が$5$で割り切れる場合は，余りは$0$とする．

　$|S_a-a|$$+|S_b-b|$$+|S_c-c|$の値を求めよ．$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$S_a\text{，}$$S_b\text{，}$$S_c$は$0$以上の整数とする．

【10】　座標平面上における円$C\text{：}{x}^2+y^2=4\text{，}$点$\mathrm{A}(-12,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,-5)$について考える．

　円$C$上の点を点$\mathrm{P}$と表記する．

　内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$としたときの$|M+m|$の値を求めよ．

【11】　座標空間における点$\mathrm{A}(8,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,4,0)\text{，}$点$\mathrm{C}(0,0,2)\text{，}$原点$\mathrm{O}(0,0,0)$について考える．

　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面を平面$\mathrm{ABC}$と表記する．点$\mathrm{P}$は平面$\mathrm{ABC}$上に存在するものとし，線分$\mathrm{OP}$の長さが最小となるときの点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{H}$とする．

　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$と$3$つの内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}$$+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}$$-\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}$$-{\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|}^2$の値を求めよ．

【12】　$4$次方程式$x^4-2(k+2)x^2$$+k^2$$-2k$$-3=0$は，すべて異なる$4$つの実数解をもつものとする．

　$k$が整数であるとき，$\left|k\right|$の最小値を求めよ．

【13】　曲線$y={(\log x)}^4$$\text{（}x$は正の実数）と$x$軸，直線$x={\displaystyle \frac{1}{e}}\text{，}$$x=e^2$で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$の値を求めよ．$x$の自然対数を$\log x$とし，$e$は自然対数の底とする．

【14】　次の文章を読み，以下の問い（問題$\text{14}\text{〜}$$\text{16}\text{）}$に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ．

　座標平面上の円$C_1\text{：}{x}^2+y^2=1\text{，}$円$C_2\text{：}{(x-b)}^2+y^2={\displaystyle \frac{25}{4}}$$(b\text{は実数，}{\displaystyle \frac{3}{2}}<b<{\displaystyle \frac{7}{2}})$について考える．

　円$C_1$と円$C_2$は共通な接線をもつ．円$C_1$と円$C_2$の共通接線のなかで，傾きが${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$となるものを直線$l$とする．このときの$b$の値を$\beta$とする．

Ⅰ　直線$l$と$x$軸との交点$\mathrm{P}$の$x$座標を$k$とする．$\left|k\right|=\text{14}$となる．

Ⅱ　$\beta =\text{15}$となる．

Ⅲ　直線$l$と円$C_1$との接点を点$\mathrm{Q}(q_1,q_2)\text{，}$直線$l$と円$C_2$との接点を点$\mathrm{R}(r_1,r_2)$とする．

　$|q_1{r}_1+q_2{r}_2|=\text{16}$となる．

【15】　次の文章を読み，以下の問い（問題$\text{17}\text{〜}$$\text{20}\text{）}$に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ．

　等比数列の和，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\left({\displaystyle \frac{8}{9}}\right)}^{k-1}$$\text{（}n$は$10000$ 以下の自然数）について考える．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

Ⅰ　自然数$p$は，$p<S_3<p+1$を満たす．$p=\text{17}$となる．

Ⅱ　$5<S_n<6$を満たす最小の$n$を$q$$\text{（}q$は自然数）とする．$q=\text{18}$となる．

Ⅲ　$N<S_n<N+1$を満たす自然数$N$が最大値$M$をとるときの$n$の最小値を$m$$\text{（}m$は自然数）とする．$M=\text{19}$となる．

$m=\text{20}$となる．