2025　東北学院大学　前期B日程理系MathJax

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$1$から$7$までの番号が$1$つずつ書かれた$7$個の赤玉の入った袋と，$1$から$9$までの番号が$1$つずつ書かれた$9$個の白玉の入った袋がある．赤玉の入った袋から$3$個，白玉の入った袋から$3$個の合計$6$個の玉を選ぶ選び方は$\text{(ア)}$通りある．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\tan \alpha =2\sqrt{2}$のとき，$\sin 2\alpha =\text{(イ)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　$a={\log }_{2}3\text{，}$$b={\log }_{3}5$のとき，${\displaystyle \frac{3+2a+ab}{a+ab}}$$={\log }_{15}\text{(ウ)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅳ)　座標平面上の点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=4$上を動くとき，点$\mathrm{A}(3,0)$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分$\mathrm{AQ}$の中点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式は$\text{(エ)}$である．

【２】　$a_1=1\text{，}$$a_2=2\text{，}$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$がある．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$の値を求めよ．

(ⅱ)　$2$次方程式$a_n{x}^2+a_{n+1}x$$-a_{n+2}=0$の負の解を$a_n\text{，}$$a_{n+2}$で表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた負の解を$c_n$としたとき，$c_1\times c_2$$\times \cdots$$\times c_n$$\text{（}n=3\text{，}$$4\text{，}$$\cdots \text{）}$を$a_{n+1}\text{，}$$a_{n+2}\text{，}$$n$で表せ．

【３】　関数$f(x)=-x^2$$+|2x+1|+1$について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．$f(x)=0$を満たす$x$の値を示すこと．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフと$2$点で接するような接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた接線$l$と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　関数$f(x)=2e^{2x}-e^{3x}$について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)\text{，}$$f^{″}(x)\text{，}$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)\text{，}$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．変曲点も求めよ．

(ⅲ)　$y=f(x)$のグラフの$x\geqq 0$の部分と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．