2025　東北学院大学　前期B日程文系2月2日MathJax

【１】　次の問いについて，$$に適する答えを求めよ．

(ⅰ)　循環小数の和$1.\stackrel{\cdot }{6}+0.\stackrel{\cdot }{4}\stackrel{\cdot }{2}$を既約分数で表すと$\text{(ア)}$となる．

【１】　次の問いについて，$$に適する答えを求めよ．

(ⅱ)　$\sqrt{11}+\sqrt{13}$の整数部分は$\text{(イ)}$である．

【１】　次の問いについて，$$に適する答えを求めよ．

(ⅲ)　$a$を定数とするとき，$2$次不等式$x^2-(a+1)x+2a+1\geqq 0$の解がすべての実数となるような$a$の値の範囲は$\text{(ウ)}$である．

【１】　次の問いについて，$$に適する答えを求めよ．

(ⅳ)　$4\sin \theta +5\cos \theta =0$であるとき，$\cos \theta =\text{(エ)}$である．ただし，$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$とする．

【２】　$p\text{，}$$q$を実数とし，集合$A\text{，}$$B$を次のようにとる．

$A=\{0,p^2,-q^2\}\text{，}$$B=\{4,4p-2q,4p+2q\}$

このとき，$A\cap B=\{0,4\}$となるような$p\text{，}$$q$の値の組をすべて求めよ．

【３】　$3$点$\mathrm{A}(4,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,3)\text{，}$$\mathrm{C}(3,-4)$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2={\mathrm{CP}}^2$を満たす点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)の点$\mathrm{P}(x,y)$について，$x+y$の値が最大となるような点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【４】　$k$を定数とするとき，関数$f(x)=x^3$$+3(k+1)x^2$$+3(2k+1)x$$+3k+33$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅱ)　方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつような，$k$の値の範囲を求めよ．

【５】　$4$個のサイコロを同時に投げるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　出る目の和が$7$である確率を求めよ．

(ⅱ)　出る目の積が$8$の倍数である確率を求めよ．

【６】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=3a_n$$+2n+1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_1\text{，}$$a_2$を求めよ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$が満たす漸化式を求めよ．

(ⅲ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【７】　座標空間内の$4$点$\mathrm{A}(1,0,-5)\text{，}$$\mathrm{B}(4,2,-9)\text{，}$$\mathrm{C}(-2,2,-6)\text{，}$$\mathrm{D}(2,2,k)$が同一平面上にあるとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数である．

(ⅰ)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

(ⅱ)　$k$の値を求めよ．

(ⅲ)　三角形$\mathrm{ABD}$の面積$S^{\prime }$を求めよ．