2025　東北学院大学　前期A日程理系MathJax

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　関数$y=-{({\log }_{2}x)}^2$$+{\log }_2{x}^3+4$$\text{（}1\leqq x\leqq 4\text{）}$の最大値は$\text{(ア)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　数字$2\text{，}$$3\text{，}$$5\text{，}$$7\text{，}$$11$が$1$つずつ書かれた$5$枚のカードが箱に入っている．箱から同時に$2$枚のカードを取り出すとき，書かれた数字の和が$3$の倍数である確率は$\text{(イ)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　関数$y=2{\cos }^{2}x$$+4\cos x\sin x$$+5{\sin }^{2}x$の最大値と最小値の和は$\text{(ウ)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅳ)　円${(x-1)}^2+y^2=a^2$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$が接するとき，正の定数$a$の値は$\text{(エ)}$である．

【２】　直線$l_1\text{：}(1-k)x$$+y$$=3-k\text{，}$$l_2\text{：}x+y=3$について，以下の問いに答えよ．ただし，$k$は定数とする．

(ⅰ)　$k$の値によらず$l_1$が通る定点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　$0<k<1$とし，$l_1$と$x$軸の交点を$\mathrm{B}\text{，}$$l_1$と$y$軸の交点を$\mathrm{C}$とする．さらに$l_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{D}\text{，}$$l_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{▵ADB}$と$\mathrm{▵ACE}$の面積比が$6:1$のとき，$k$の値を求めよ．

(ⅲ)　$k$が(ⅱ)で求めた値のとき，$\sin \mathrm{\angle CAE}$の値を求めよ．

【３】　放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2+1$について，$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$$\text{（}0<t<1\text{）}$から$C_2$へ引いた接線のうち，傾きが正の接線を$l$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$C_2$と$l$の接点の$x$座標を$t$の式で表せ．

(ⅱ)　$l$の傾きと$y$切片をそれぞれ$t$の式で表せ．

(ⅲ)　$C_2\text{，}$$l\text{，}$$y$軸で囲まれた部分の面積が${\displaystyle \frac{64}{81}}$のとき，$t$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^4+3}}$について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．変曲点は求めなくてよい．

(ⅲ)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．