2025　東北学院大学　前期A日程文系MathJax

【１】　次の問いについて，$$に適する答えを求めよ．

(ⅰ)　$4x^4-20x^2{y}^2+y^4$を有理数の範囲で因数分解すると$\text{(ア)}$となる．

【１】　次の問いについて，$$に適する答えを求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{6}-3}}$の分母を有理化すると$\text{(イ)}$となる．

【１】　次の問いについて，$$に適する答えを求めよ．

(ⅲ)　$a$を定数とするとき，$2$次関数$y=x^2-2ax$$+2a^2$$-2a+1$が$-1<x<1$において最小値$3$をとるならば$a=\text{(ウ)}$である．

【１】　次の問いについて，$$に適する答えを求めよ．

(ⅳ)　$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AC}=7\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=120\mathrm{°}$である三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\text{(エ)}$である．

【２】　すべての正の実数$x$に対して不等式$x^2+3x$$-5$$>k(x-3)$が成り立つような，$k$の値の範囲を求めよ．

【３】　$x>2$かつ${\log }_{2}x+{\log }_{x}2=10$とするとき，次の値を求めよ．

(ⅰ)　${({\log }_{2}x)}^2+{({\log }_{x}2)}^2$

(ⅱ)　${({\log }_{2}x)}^3+{({\log }_{x}2)}^3$

(ⅲ)　${\log }_{2}x$

【４】　$a$を定数とする．関数$f(x)=x^4$$+x^3$$-18x^2+12ax$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$の導関数$g(x)$を求め，$g(x)$の導関数を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$が極大値と極小値をもつような，$a$の値の範囲を求めよ．

【５】　$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{AC}=8$であるような三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，線分$\mathrm{AL}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{CP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　線分$\mathrm{AN}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　線分の長さの比$\mathrm{NP}:\mathrm{PC}$を求めよ．

(ⅲ)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$20$であるとき，三角形$\mathrm{PCM}$の面積を求めよ．

【６】　初項$a\text{，}$公比$r$の等比数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$r\ne 1$であるとき，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和は${\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}}$であることを証明せよ．

(ⅱ)　$a=1\text{，}$$r=3$のとき，和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(2k-1)a_k$を求めよ．

【７】　三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=6\text{，}$$\mathrm{OB}=5\text{，}$$\cos \mathrm{\angle AOB}={\displaystyle \frac{1}{3}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{M}$を$\mathrm{BM}\perp \mathrm{OA}$となるようにとるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を用いて表せ．

(ⅱ)　直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{N}$を$\mathrm{ON}\perp \mathrm{AB}$となるようにとるとき，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(ⅲ)　直線$\mathrm{BM}$と直線$\mathrm{ON}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，線分の長さの比$\mathrm{OP}:\mathrm{PN}$を求めよ．