2025　長崎県立大学　後期MathJax

【１】解答用紙には答えのみ書きなさい．

問１　実数全体を全体集合とし，その$2$つの部分集合$A=\left\{x\right|x^2-3x-4<0\}\text{，}$$B=\{x|x^2-a^2<0\text{（}a>0\text{）}\}$がある．

　次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　$2$次不等式$x^2-3x$$-4<0$の解を求めなさい．

(2)　$A\cup B=A$となる$a$の値の範囲を求めなさい．

【１】　解答用紙には答えのみ書きなさい．

問２　正の実数$x\text{，}$$y$に対して，等式$2{\log }_2(y-3x)$$=2$$+{\log }_{2}x$$+{\log }_{2}y$が成り立っている．

　次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　${\displaystyle \frac{y}{x}}$の値を求めなさい．

(2)　${\log }_2{\displaystyle \frac{xy-6x^2}{y^2-5xy-12x^2}}$の値を求めなさい．

【１】　解答用紙には答えのみ書きなさい．

問３　放物線$y=x^2$$-4x+7$があり，この放物線上の点$(3,4)$における接線を$l$とする．

　次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　接線$l$の方程式を求めなさい．

(2)　放物線$y=x^2$$-4x+7$と接線$l$と$x$軸および$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めなさい．

【２】　$x$についての関数$f(x)=4^x$$+4^{-x}$$-a(2^{1+x}+2^{1-x})$$+12-a^2$$\text{（}a$は実数）がある．

　次の問いに答えなさい．

問１　$t=2^x+2^{-x}$とおくとき，次の(1)，(2)，(3)に答えなさい．

(1)　$t$の取り得る値の範囲を求めなさい．

(2)　$f(x)$を$t$を用いて表しなさい．

(3)　$a=1$のとき，方程式$4f(x)=41$を満たす$x$の値を求めなさい．

問２　次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　関数$f(x)$の最小値を求めなさい．

(2)　方程式$f(x)=0$が実数解を持たないような$a$の取り得る値の範囲を求めなさい．

【３】　円$x^2+y^2$$-6x$$-2y$$+5=0$$\cdots \text{①}$と直線$mx-y$$+2m$$+1=0$$\text{（}m$は実数）$\cdots \text{②}$がある．直線$\text{②}$はどのような$m$の値に対しても必ずある$1$点を通る．この点を$\mathrm{P}$とし，円$\text{①}$の中心を$\mathrm{C}$とする．次の問いに答えなさい．

問１　次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　中心$\mathrm{C}$の座標と半径を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

問２　点$\mathrm{P}$から円$\text{①}$に引いた$2$つの接線の接点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．次の(1)，(2)，(3)に答えなさい．

　ただし，点$\mathrm{Q}$の$y$座標は，点$\mathrm{R}$の$y$座標より大きいものとする．

(1)　$2$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ求めなさい．

(2)　$4$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を頂点とする四角形に含まれる円のうち，半径が最大となる円の中心の座標を求めなさい．

(3)　点$\mathrm{P}$から円$\text{①}$に引いた$2$つの接線と円$\text{①}$で囲まれた部分に含まれる円のうち，半径が最大となる円の半径を求めなさい．

【４】　$1$から$10$までの異なる番号が$1$個に$1$つずつ書かれた$10$個の袋があり，それぞれの袋の中には，袋の番号と同じ番号が書かれたボールが$1$個ずつ入っている．この$10$個の袋から無作為に$2$個の袋を選びそれぞれの袋の中に入っているボールを入れ替えるという操作を繰り返す．

　$n$は自然数とする．この操作を$n$回行なったとき，番号$1$が書かれた袋の中に番号$1$が書かれたボールが入っている確率を$p_n$とする．次の問いに答えなさい．

問１　$p_1\text{，}$$p_2$を求めなさい．

問２　$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表しなさい．

問３　$p_n$を$n$を用いて表しなさい．

【５】　$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えなさい．

問１　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^x\mathit{dx}$を求めなさい．

問２　曲線$y=x{e}^x$の増減，凹凸を調べてグラフを書きなさい．

　ただし必要であれば，$\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0$を用いなさい．

問３　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数とする．$x$の関数$f(x)=(a{x}^2+bx+c)e^{2x}$の導関数が$f^{\prime }(x)=x^2{e}^{2x}$であるとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めなさい．

問４　$2$つの曲線$y=e^x$$\cdots \text{①}\text{，}$$y=x{e}^x$$\cdots \text{②}$がある．曲線$\text{①}$と曲線$\text{②}$および$y$軸で囲まれた図形を$D$とするとき，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．

問題選択一覧

情報システム学部情報システム学科　【１】,【２】,【３】,【４】必須

情報システム学部情報セキュリティ学科　【１】,【３】,【４】,【５】必須