2025　長崎県立大学　前期MathJax

【１】問１　あるクラスで数学の小テストを行った．右の表は$6$人の生徒の結果をまとめたものである．この$6$人の生徒の得点の平均点は$5$点であり，生徒$\text{①}$の得点は生徒$\text{③}$の得点より$1$点高い．

　次の(1)，(2)，(3)に答えなさい．ただし分数が計算結果となる場合は小数で表さず，分数のままで答えてもよい．

(1)　生徒$\text{①}$の得点$a$と生徒$\text{③}$の得点$b$の値を，それぞれ求めなさい．

(2)　表の$6$人の生徒の得点の分散を求めなさい．

(3)　表の$6$人の生徒に，新たに$4$人の得点の平均点が$5$点の生徒$4$人を加えて$10$人にした．$10$人の得点の分散は，新たに加えた$4$人の分散より$0.3$だけ小さくなる．新たに加えた$4$人の得点の分散を求めなさい．

【１】問２　次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　${\log }_{10}2=a\text{，}$${\log }_{10}3=b$とするとき，${\log }_{4}12$を$a\text{，}$$b$を用いて表しなさい．

【１】問２　次の(1)，(2)に答えなさい．

(2)　$a>1\text{，}$$A>0$とするとき，${\displaystyle \frac{{\log }_{a}3}{{\log }_{a}2}}={\log }_{4}A$を満たす$A$の値を求めなさい．

【１】問３　右の図のように，$5$つの部分に分けられた長方形がある．赤青黄黒緑の$5$色から色を選んで，$5$つの部分それぞれに色を塗り長方形を塗り分ける．ただし隣り合う部分には異なる色を塗るものとする．次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　$5$色全てを用いて長方形の$5$つの部分を塗り分ける方法は何通りあるか求めなさい．

(2)　$5$色から$4$色を選びその$4$色で長方形の$5$つの部分を塗り分ける方法は何通りあるか求めなさい．

【２】　$x$についての関数$f(x)$が，等式$f(x)=-x^2$$+3x{\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}$を満たしている．

　次の問いに答えなさい．

問１　次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}=k$$\text{（}k$は定数）とおくとき，$k$の値を求めなさい．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めなさい．

問２　曲線$y=f(x)$$\cdots \text{①}\text{，}$直線$y=(2-m)x$$\text{（}0<m<2\text{）}$$\cdots \text{②}\text{，}$直線$x=2$$\cdots \text{③}$がある．

　曲線$\text{①}$と直線$\text{②}$で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，曲線$\text{①}$と直線$\text{②}$および直線$\text{③}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　$S_2$を求めなさい．

(2)　$S=S_1+S_2$とするとき，$S$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．

【３】　箱の中に赤色のカードが$4$枚と白色のカードが$2$枚の$6$枚のカードが入っている．この箱から$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人が$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の順にカードを$1$枚ずつ取り出し，さらに大小$2$個のさいころをそれぞれ$1$回ずつ投げる．赤色のカードを取り出したときは$2$個のさいころの目の和を得点とし，白色のカードを取り出したときは$2$個のさいころの目の積を得点とする．

　ただし，$\mathrm{A}$が取り出したカードは元に戻さないものとし，得点が大きい方を勝ちとする．次の問いに答えなさい．

　次の問いに答えなさい．

問１　次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　$\mathrm{A}$が赤色のカードを取り出して，得点が$5$点となる確率を求めなさい．

(2)　$\mathrm{A}$の得点が$5$点となる確率を求めなさい．

問２　$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も同色のカードを取り出して，$\mathrm{A}$が$5$点で勝つ確率を求めなさい．

問３　$\mathrm{A}$が$5$点で勝ったとき，$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も同色のカードを取り出す条件付き確率を求めなさい．

【４】　$n$は自然数とする．$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$があり次の関係式を満たしている．

$a_1=2\text{，}$$b_1=2\text{，}$$a_{n+1}=7a_n+2b_n\text{，}$$b_{n+1}=-2a_n+2b_n$

　次の問いに答えなさい．

問１　$a_2\text{，}$$b_2$の値を求めなさい．

問２　$x_n=a_n+b_n$とするとき，$x_{n+1}$を$x_n$で表し数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を$n$の式で表しなさい．

問３　$y_n={\displaystyle \frac{a_n}{4^n}}$とするとき，$y_{n+1}$を$y_n$で表し，数列$\{y_n\}$の一般項$y_n$を$n$の式で表しなさい．

問４　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を$n$の式で表しなさい．

【５】　座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(2,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}(3,-2,-4)\text{，}$$\mathrm{C}(-2,-2,1)$がある．点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線とこの平面との交点を$\mathrm{H}$とする．次の問いに答えなさい．

問１　次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　$\mathrm{\angle BAC}$の大きさを求めなさい．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$\text{（}s\text{，}$$t$は実数）とおく．次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　$s$と$t$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい．

問３　点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外接円周上を動く．線分$\mathrm{OP}$の長さが最大となるとき，線分$\mathrm{HP}$の長さを求めなさい．

【６】　曲線$y=a\log x$$\text{（}a>0\text{）}$$\cdots \text{①}$がある．原点から曲線$\text{①}$に引いた接線を$l$とし，曲線$\text{①}$と接線$l$および$x$軸で囲まれる図形を$D$とする．次の問いに答えなさい．

問１　次の(1)，(2)，(3)に答えなさい．

(1)　関数$y=x{(\log x)}^2$を微分しなさい．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }\log x\mathit{dx}$を求めなさい．

(3)　接線$l$の方程式を求めなさい．

問２　次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めなさい．

(2)　$D$を$x$軸，$y$軸のまわりにそれぞれ$1$回転させてできる$2$つの立体の体積が等しくなるとき，$a$の値を求めなさい．

問題選択一覧

地域創造学部公共政策,実践経済学科　【１】,【２】必須,【３】,【４】,【５】から2題選択

情報システム学部情報システム学科　【１】,【２】,【４】,【５】必須

情報システム学部情報セキュリティ学科　【１】,【４】,【５】,【６】必須