2025　福岡女子大学　前期MathJax

【１】　以下の問に答えなさい．なお，十六進法では，$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$7\text{，}$$8\text{，}$$9\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$の計$16$個の数字と文字を用いて数が表され，$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$の文字はそれぞれ十進法における$10$から$15$に対応している．

(1)　二進法で表された${11001011}_{(2)}$を十進法および十六進法で表しなさい．

(2)　十六進法で表された${145}_{(16)}\text{，}$${\mathrm{B}2}_{(16)}$をそれぞれ二進法で表しなさい．

(3)　自然数のうち，十進法で表しても十六進法で表しても$3$桁になる数は全部で何個あるかを求めなさい．

(4)　コンピュータの内部では文字$1$個に「文字コード」と呼ばれる数値を割り当て，その数値で文字を区別している．ここでは右の表のように文字と文字コードの対応関係が与えられているものとする．例えば，「学」という文字を文字コードで表すと，十六進法で${\mathrm{8A}77}_{(16)}$となる．ある$2$文字の文字コードがそれぞれ二進法で${1000111001010010}_{(2)}\text{，}$${1000110011111011}_{(2)}$と表されているとする．これら$2$文字を順に答えなさい．ただし，表の中に該当する$2$文字がない場合は，「該当なし」と答えなさい．

【２】　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}5=0.6990$とするとき，以下の問に答えなさい．

(1)　${\log }_{10}20\text{，}$${\log }_{2}5$の値をそれぞれ求めなさい．ただし，小数第$4$位を切り捨て，小数第$3$位まで答えなさい．

(2)　${20}^{24}$の桁数を求めなさい．

(3)　${20}^{24}$の最高位の数字を求めなさい．

(4)　${20}^{24}$を二進法で表したときの桁数を求めなさい．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$に対して，直線$\mathrm{AP}\text{，}$$\mathrm{BP}\text{，}$$\mathrm{CP}$と辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の交点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=2:1\text{，}$$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=1:3$となっているとき，以下の問に答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{BP}:\mathrm{PE}=s:1-s\text{，}$$\mathrm{CP}:\mathrm{PF}=t:1-t$とする$\text{（}0<s<1\text{，}$$0<t<1\text{）．}$このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$s$を用いて表しなさい．また，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$t$を用いて表しなさい．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい．

(4)　$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めなさい．

(5)　$x\overrightarrow{\mathrm{AP}}+y\overrightarrow{\mathrm{BP}}+z\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$とするとき，$x:y:z$を求めなさい．

【４】　コインを$9$回続けて投げて，何回目に投げた時に表が出たかを右図のような格子の対応する数字のマス目を塗りつぶす形式で記録する．塗りつぶしたマス目が縦一直線に$3$個並んだ場合に，その結果を$\mathrm{C}1\text{，}$$\mathrm{C}2\text{，}$$\mathrm{C}3$と表現する．ただし，$\mathrm{C}$に続く数字は縦一直線に並んだマス目の最上段の数字である．同様に，塗りつぶしたマス目が横一直線に$3$個並んだ場合に，その結果を$\mathrm{R}1\text{，}$$\mathrm{R}4\text{，}$$\mathrm{R}7$と表現する．ただし，$\mathrm{R}$に続く数字は横一直線に並んだマス目の最も左に位置する数字である．また，斜め一直線に$3$個並んだ場合には，最上段の数字を用いて，$\mathrm{N}1\text{，}$$\mathrm{N}3$と表現する．一直線に並んだ場合の結果を要素とする集合を$A$とする．

　例えば，$2$回目，$4$回目，$5$回目，$8$回目のみ表が出た場合，$\text{②}\text{，}$$\text{④}\text{，}$$\text{⑤}\text{，}$$\text{⑧}$のマス目が塗りつぶされ，$A=\{\mathrm{C}2\}$となる．$1$回目，$2$回目，$3$回目，$5$回目，$7$回目のみ表が出た場合，$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}\text{，}$$\text{⑤}\text{，}$$\text{⑦}$のマス目が塗りつぶされ，$A=\{\mathrm{R}1,\mathrm{N}3\}$となる．塗りつぶしたマス目がどの方向にも一直線に$3$個並ばなかった場合，$A$は空集合となる．このとき，以下の問に答えなさい．

(1)　$A$が空集合で，表の出た回数が$3$回であるようなマス目の塗りつぶし方は何通りあるかを求めなさい．

(2)　$A$が空集合で，表の出た回数が$4$回であるようなマス目の塗りつぶし方は何通りあるかを求めなさい．

(3)　$A$の要素数が$2$で，表の出た回数が$5$回であるようなマス目の塗りつぶし方は何通りあるかを求めなさい．

(4)　$A$の要素数が$1$で，表の出た回数が$5$回であるようなマス目の塗りつぶし方は何通りあるかを求めなさい．

(5)　$A$が空集合で，表の出た回数が$6$回であるようなマス目の塗りつぶし方は何通りあるかを求めなさい．

(6)　表の出た回数を知らない人が，$A$が空集合であったことのみを知らされたとする．このとき，表の出た回数が$5$回であった確率を求めなさい．

【５】　曲線$C\text{：}y=e^{-x}\sin x$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$について以下の問に答えなさい．

(1)　曲線$C$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかきなさい．

(2)　${\displaystyle \int }{e}^{-x}\sin x\mathit{dx}$を求めなさい．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^{-x}\sin x\mathit{dx}\text{，}$$-{\displaystyle {\int }_{\pi }^{2\pi }}{e}^{-x}\sin x\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle {\int }_{2\pi }^{3\pi }}{e}^{-x}\sin x\mathit{dx}$の値をそれぞれ求めなさい．

(4)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$y$軸に近い方から順に$S_0\text{，}$$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$\cdots$とする．無限級数${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}{S}_k$の和を求めなさい．

【５】　$a\text{，}$$k\text{，}$$q\text{，}$$r$は定数であるとする．関数$f(x)$を

$f(x)=x^2+qx+r$

とし，曲線$y=f(x)$を$C$とおく．曲線$C$は$x$軸と共有点をもたないものとする．一方，直線$y=ax$を$l$とおき，$l$は$x=1$において曲線$C$と接しているとする．さらに，$l$とは異なる直線$y=kx$を$m$とし，$m$は$l$とは異なる点において曲線$C$と接しているとする．このとき以下の問に答えなさい．

(1)　$q$を$a$の式で表しなさい．また，$r$の値を求めなさい．

(2)　$a$の値の範囲を求めなさい．

(3)　$k$を$a$の式で表し，直線$m$と曲線$C$の接点の$x$座標の値を求めなさい．

(4)　$q>0$とする．このとき，直線$l$と$m$が直交するような$a$の値を求め，曲線$C\text{，}$直線$l\text{，}$$m$の概形を一つの座標平面上に図示しなさい．

(5)　$a$の値が(4)で求めた値となるとき，曲線$C\text{，}$直線$l\text{，}$$m$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

(6)　曲線$C\text{，}$直線$l\text{，}$$m$で囲まれた部分の面積は，常に(5)で求めた値となることを示しなさい．