2025　北九州市立大学　後期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．空欄に入れるのに適する数式または数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　関数$f(x)=-a{x}^2$$+2ax+3a$（ただし，$a$は正の実数）について考える．ここでは$xy$平面において，$x$座標，$y$座標がいずれも整数となる点を格子点という．

(1)　$f(x)=0$となるのは$x=\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$（順不同）のときで，放物線$y=f(x)$の頂点の座標は$(\text{ウ},\text{エ})$である．

(2)　$y<f(x)\text{，}$$x>0\text{，}$$y>0$を同時に満たす格子点の数を$N$とする．

$a=1$のとき，$N=\text{オ}$となる．

$a=2$のとき，$N=\text{カ}$となる．

$2<N<9$となるような$a$の値の範囲は$\text{キ}<a\leqq \text{ク}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．空欄に入れるのに適する数式または数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　$1$つの袋に赤玉$5$個と白玉$6$個が入っている．赤玉にはそれぞれ$1$から$5$までの数字が，白玉にはそれぞれ$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれている．袋から同時に$2$つの玉を取り出し，$2$つの玉が同じ色であれば取り出した玉に書かれた$2$つの数字の積を計算し，異なる色であれば商を計算する．ただし，商を計算するとき，$2$つの数字が異なる場合にはより大きい方の数字を分母とする．取り出した玉に書かれた$2$つの数字の積または商を，計算の答えと呼ぶことにする．

(1)　玉の取り出し方は全部で$\text{ケ}$通りある．

(2)　取り出した玉が$2$つとも赤玉である確率は$\text{コ}$である．

(3)　計算の答えが$1$以上になる確率は$\text{サ}$である．

(4)　計算の答えが，小数で表したときに循環小数となる確率は$\text{シ}$である．

【２】　円$C_1\text{：}{(x-a)}^2$$+{(y-a)}^2=a^2$の上を動く点$\mathrm{P}$と，円$C_2\text{：}{(x+b)}^2$$+{(y+b)}^2=b^2$の上を動く点$\mathrm{Q}$がある．ただし，原点を$\mathrm{O}\text{，}$$a>0\text{，}$$b>0$とする．以下の問いに答えよ．問１については，空欄に入れるのに適する数式または数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問２と問３については，答えを導く過程も記すこと．

問１　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の最大値は$\text{タ}\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$の最大値は$\text{チ}$であるから，$0<\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|\leqq \text{タと同じ}\text{，}$及び$0<\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|\leqq \text{チと同じ}$が成り立つ．ここで内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の最大値は$\text{ツ}\text{，}$最小値は$\text{テ}$である．また，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$が最小値をとるときの点$\mathrm{P}$の座標は$(\text{ト},\text{ナ})$である．

問２　$b=a$のとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線$\mathrm{PQ}$が，円$C_1$と円$C_2$の両方に接しているとする．このような直線$\mathrm{PQ}$のうち，座標軸上になく，$y$切片が負であるものについて，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．

問３　問２で求めた点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{Q}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$\mathrm{▵OQP}$の面積を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^2{e}^{4-x}$について，以下の問いに答えよ．問１については，空欄に入れるのに適する数式または数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問２と問３については，答えを導く過程も記すこと．

問１　$f(x)$を微分すると，

$f^{\prime }(x)=\text{ハ}$

となるので，$f^{\prime }(x)=0$の解は，

$x=\text{ヒ}\text{，}$$\text{フ}$（順不同）

となる．

　また，$f^{\prime }(x)$を微分すると，

$f^{″}(x)=\text{ヘ}$

となるので，$f^{″}(x)=0$の解は，

$x=\text{ホ}\text{，}$$\text{マ}$（順不同）

となる．

問２　関数$f(x)$の極値，曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求め，$f(x)$の増減，グラフの凹凸の表をかけ．

問３　$0\leqq x\leqq 4$のとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=4$で囲まれた部分の面積を求めよ．