2025　北九州市立大学　前期MathJax

【１】　自然数$n$に対して，$x$の$1$次式$f_n(x)$を次のように定める．

$n\cdot f_{n+1}(x)=(n+2)f_n(x)+n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$f_n(x)$の$x$の係数を$a_n\text{，}$定数項を$b_n$とする．ただし，$f_1(x)=2x+1$とする．以下の問題に答えよ．

(1)　$a_1$と$b_1$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}$を$n$を用いて表せ．

(4)　数列$\left\{{\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}\right\}$の一般項を求めよ．

(5)　$S_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{f}_k(x)$とする．$S_n(x)=0$となる$x$の値を$n$を用いて表せ．

【２】　以下の問題に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}\{(x+2)(x-1)(x-3)\}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^4}|x^2-2x-3|\mathit{dx}$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{-x}^x}\{{\displaystyle \frac{d}{\mathit{dt}}}({\displaystyle \frac{t^3}{6}}+{\displaystyle \frac{t^2}{2}}+t+1)\}\mathit{dt}$を求めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_{-x}^x}\{{\displaystyle \frac{d}{\mathit{du}}}\{{\displaystyle {\int }_{-u}^u}(t^2+t+1)\mathit{dt}\}\}\mathit{du}$を求めよ．

(5)　等式$f(x)=x^2+2{\displaystyle {\int }_{-1}^3}xf(t)\mathit{dt}$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【３】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\sqrt{2})\text{，}$$\mathrm{B}(\sqrt{6},0)\text{，}$$\mathrm{C}(\sqrt{6},\sqrt{6}+\sqrt{2})$がある．以下の問題に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(2)　$\cos \mathrm{\angle ABC}$を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心$\mathrm{S}$の座標を求めよ．

(5)　$\sin \mathrm{\angle CAB}$を求めよ．

【４】　偏りのないさいころが$2$つと，投げたときに$2$から$6$の目は同じ確率で出て，$1$の目が出る確率が他のそれぞれの目が出る確率の$2$倍である偏りのあるさいころが$1$つ，合計$3$つのさいころがある．以下の問題に答えよ．

(1)　$3$つのさいころを同時に投げたとき，出た目の合計が$3$となる確率を求めよ．

(2)　$3$つのさいころを同時に投げたとき，出た目の合計が$4$となる確率を求めよ．

(3)　$3$つのさいころを同時に投げたとき，出た目の合計が$6$以上となる確率を求めよ．

(4)　$3$つのさいころから$1$つを無作為に選び，投げたとき奇数の目が出る確率を求めよ．

(5)　$3$つのさいころから$1$つを無作為に選び，投げたとき$1$の目が出た．投げたさいころが偏りのあるさいころである確率を求めよ．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　正の実数$a$に対し，$n\leqq a$を満たす最大の整数$n$を$a$の整数部分，$a-n$を$a$の小数部分とする．たとえば，$\sqrt{2}$の整数部分の値は$1\text{，}$小数部分の値は$\sqrt{2}-1$となる．このとき，${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{7}-2}}$の整数部分の値は$\text{ア}$であり，小数部分の値は$\text{イ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　不等式$|2x-2|<x+5$の解は$\text{ウ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$x=0$および$x=1$のとき$y=0$となり，$x=-1$のとき$y=6$となる$2$次関数は$y=\text{エ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$\tan \theta =-{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{7}}}$のとき，$\sin \theta$の値は$\text{オ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　$3$桁の正の整数のうち，いずれかの位に$0$が使われている整数は，全部で$\text{カ}$個ある．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　点$\mathrm{P}$が円$x^2+y^2=45$上を動くとき，点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{A}(9,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(3,-9)$を頂点とする$\mathrm{▵PAB}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡は，中心が$(\text{サ},\text{シ})$で，半径が$\text{ス}$の円となる．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　${\left({\displaystyle \frac{8}{5}}\right)}^n$における整数部分が$4$桁の数となるとき，自然数$n$の範囲は$\text{セ}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で，$\sin \theta -\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値は$\text{ソ}$であり，${\sin }^2-{\cos }^2\theta$の値は$\text{タ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　$a_1=6\text{，}$$a_{n+1}=a_n$$+3n^2+3n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は$\text{チ}$である．

【３】　以下の問いに答えよ．問１では，空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問２では，答えを導く過程も示すこと．

問１　関数$y={\displaystyle \frac{2x-3}{x-2}}$のグラフは，関数$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$のグラフを$x$軸方向に$\text{ナ}\text{，}$$y$軸方向に$\text{ニ}$だけ平行移動した直角双曲線である．また，この関数の定義域は$\text{ヌ}\text{，}$値域は$\text{ネ}$である．

　関数$y={\displaystyle \frac{2x-3}{x-2}}$の逆関数は，$y=\text{ノ}$と表される．

問２　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{2x-3}{x-2}}$$\text{（}x>2\text{）}$について，傾きが$-a^2$$\text{（}a>0\text{）}$である接線を$l$とする．

(1)　接線$l$の方程式と，接点の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　接線$l$と直線$y=2$の交点の座標を$(b,2)$とする．このとき，曲線$C$と接線$l$および直線$x=b$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　右の図のような正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とする．

　以下の問いに答えよ．答えを導く過程も示すこと．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問２　線分$\mathrm{CE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問３　線分$\mathrm{BF}$と線分$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．