2025　九州歯科大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$つの関数

$f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+5e^{-x}}}\text{，}$$g(x)=\log (x^2+5)$

がある．ただし，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底とする．

$\text{①}$　導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．

$\text{②}$　$x=\log t$とおくことにより，定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$-1<r<1$とする．自然数$n$に対して，

$S_n=r+r^2+r^3+\cdots +r^n$

とおく．$S_n$を求めよ．さらに，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を，$r$を用いて表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+{(1-x)}^2}}$

について，次の問いに答えよ．

$\text{①}$　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

$\text{②}$　$0\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$チームが試合を繰り返し行い，先に$2$勝リードしたチームを優勝とする．先に$2$勝リードしたチームとは，はじめて両チームの勝ち数の差が$2$となったときの勝ち数の多い方のチームのことである．ただし，各試合において，チーム$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}$チーム$\mathrm{B}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{5}}$とし，引き分けはないものとする．さらに，各試合の勝敗は互いに独立に決まるものとする．$n$を自然数とし，ちょうど$2n$試合目にチーム$\mathrm{A}$が優勝する確率を$p_{2n}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p_2$を求めよ．

(2)　$p_4$を求めよ．

(3)　$p_6$を求めよ．

(4)　$p_{2n}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を$-\pi \leqq x\leqq \pi$の範囲で定義された連続関数とする．次のように定積分で定義された数列$\{a_k\}$を考える．

$a_k={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(x)\cos kx\mathit{dx}$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$m\text{，}$$n$を自然数とする．実数$x$に対して，

$(\cos mx)\times (\cos nx)$

を，$\cos (mx+nx)$と$\cos (mx-nx)$を用いて表せ．また，

${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}(\cos mx)\times (\cos nx)\mathit{dx}$

を求めよ．

(2)　$N$を自然数とする．

${\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{\{f(x)-{\displaystyle \sum _{k=1}^N}{a}_k\cos kx\}}^2\mathit{dx}$

を．${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{\{f(x)\}}^2\mathit{dx}$と${\displaystyle \sum _{k=1}^N}{a_k}^2$を用いて表せ．また，${\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{\{f(x)\}}^2\mathit{dx}$と${\displaystyle \sum _{k=1}^N}{a_k}^2$の大小関係を求めよ．

(3)　数列$\{a_k\}$について正しいものを，次の(ア)，(イ)のうちから$1$つ選べ．$a>0$に対して，

(ア)　$\{k|\left|a_k\right|\geqq a\text{，}k\text{は自然数}\}$は無限集合（無限に多くの要素からなる集合）である

(イ)　$\{k|\left|a_k\right|\geqq a\text{，}k\text{は自然数}\}$は有限集合（有限個の要素からなる集合または空集合）である