2025　高知工科大学　総合型選抜データ＆イノベーション学群MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$a$を正の定数とする．$2$次関数$y=a{x}^2-(a-2)x-2a-1$のグラフは$x$軸と異なる$2$点で交わり，その交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．$x$軸から切り取る線分$\mathrm{AB}$の長さが$\sqrt{10}$であるとき，$a$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\sqrt{10}\text{，}$$\mathrm{AC}=5\text{，}$$\tan \mathrm{\angle BAC}=3$のとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$9$人を$3$組に分けるとき，どの組も$2$人以上になるような分け方は何通りあるか求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　袋$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$3$個が入っていて，袋$\mathrm{B}$には赤球$3$個と白球$4$個が入っている．$1$個のさいころを投げて$4$以下の目が出たら袋$\mathrm{A}$から$2$個の球を取り出し，$5$以上の目が出たら袋$\mathrm{B}$から$2$個の球を取り出す．取り出された$2$個の球がともに赤球であったとき，この赤球が袋$\mathrm{A}$から取り出されたものである条件付き確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$\overrightarrow{a}=(1,-2,2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(-3,0,4)\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$$\text{（}t$は実数の定数）とする．$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が等しいとき，$t$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$a\text{，}$$b$は定数とし，$a>0$とする．確率変数$X$の期待値が$4\text{，}$標準偏差が$1$であるとする．確率変数$Y=aX+b$の期待値が$8\text{，}$分散が$9$であるとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$1\text{，}$$2\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$3\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$4\text{，}$$4\text{，}$$4$の数字が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードから無作為に$3$枚のカードを取り出して書かれた$3$つの数字を確認し，$3$以下の数字の個数を$X$とする．$X$の期待値$E(X)\text{，}$および分散$V(X)$を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$が$x=-5$で極大値をとり，$x=1$で極小値$-3$をとるとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$k$を実数の定数とする．$x\geqq 0$のとき，不等式$x^3-3x^2$$-9x$$+k\geqq 0$が成り立つような$k$の値の最小値を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　直線$y=5x+k$と曲線$y=2x^3$$-3x^2$$-7x+2$が，$x>0$の範囲に異なる$2$つの共有点をもつとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$x$についての方程式$2^{2x}-2^{x+2}+3=0$を解け．

【２】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　関数$y=({\log }_3{\displaystyle \frac{3}{x}})({\log }_3{\displaystyle \frac{x}{9}})$$\text{（}1\leqq x\leqq 9\text{）}$の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$5^{55}$の最高位の数字を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$を利用してもよい．

【３】　$a$を正の定数とする．関数$f(x)$を

$f(x)=2x^3-9a{x}^2+12a^{2}x$

とし，$y=f(x)$のグラフを$C$とする．

(1)　$f(x)$の増減を調べて，極値を求めよ．

(2)　$C$上の点$(t,f(t))$$\text{（}t>0\text{）}$における接線が原点を通るとき，接点の$x$座標$t$と接線の方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　$f(x)$の$0\leqq x\leqq 1$における最大値を$M(a)$とする．$M(a)$を$a$の式で表せ．また，$a$が$a>0$の範囲で変化するとき，$M(a)$の最小値を求めよ．