2025　高知工科大学　総合型選抜経済・マネジメント学群MathJax

2025-11831-0501

2025　高知工科大学　総合型選抜経済・マネジメント学群

易□　並□　難□

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　 $x = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} ，$ $y = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ のとき， $x^{2} + y^{2}$ の値を求めよ．

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易□　並□　難□

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　次のデータの平均値が $4$ であるとき，中央値を求めよ．

$3 ，$ $2 ，$ $5 ，$ $4 ，$ $7 ，$ $x$

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易□　並□　難□

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　 $3$ 個のさいころを同時に投げるとき， $2$ つ以上の目が同じである確率を求めよ．

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易□　並□　難□

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　 $AB = 10 ，$ $BC = 12 ，$ $CA = 7$ である $▵ABC$ において， $∠A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする．線分 $BD$ の長さを求めよ．

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【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　直線 $y = 2 x - 1$ に関して，点 $(3, 7)$ と対称な点の座標を求めよ．

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【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　 $0 ≦ θ < π ，$ $\cos θ = \frac{1}{5}$ のとき， $\sin 2 θ$ の値を求めよ．

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【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　方程式 $2 \cdot 4^{x} - 3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$ を解け．

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【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　関数 $y = x^{3} - 6 x + 5$ の極大値を求めよ．

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【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(9)　 $\sum_{k = 1}^{n} {k (k + 5) - {(k + 1)}^{2}}$ を求めよ．

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【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(10)　二項分布 $B (7, \frac{1}{4})$ の標準偏差を求めよ．

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【２】　 $k$ を $0$ 以上の実数とする．実数 $x$ が $0 ≦ x ≦ 3$ の範囲を動くとき， $x$ の $2$ 次関数 $f (x) = x^{2}$ $- 4 k x$ $+ 3 k^{2}$ $- 2 k + 12$ の最小値を $g (k)$ とする．次の各問に答えよ．

(1)　 $g (1)$ の値を求めよ．

(2)　 $g (2)$ の値を求めよ．

(3)　 $g (k)$ を $k$ の式で表せ．

(4)　 $k$ が $0$ 以上の実数全体を動くとき， $g (k)$ の最小値を $m$ とする． $m$ の値を求めよ．

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【３】　次の文章を読み，あとの設問に答えよ．

　自然数 $N ≧ 5$ を相異なる自然数 $a_{1} ，$ $a_{2} ，$ $\dots ，$ $a_{m}$ $（ a_{1} < a_{2}$ $< \dots$ $< a_{m} ）$ の和に分割（つまり $N = a_{1}$ $+ a_{2}$ $+ \dots$ $+ a_{m} ）$ し，積 $P = a_{1} a_{2} \dots a_{m}$ をつくる．ただし， $m = 1$ のときは $P = N$ とする．

　例えば $N = 10$ のとき， $N = 4 + 6$ と分割すると $P = 4 \cdot 6 = 24$ であり， $N = 2$ $+ 3$ $+ 5$ と分割すると $P = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ である．与えられた $N$ に対して， $P$ が最大となるような分割を「最適分割」とよぶことにする．最適分割について，次のことがわかる．

[命題]　分割

$N = a_{1} + a_{2}$ $+ \dots$ $+ a_{m}$ $（ a_{1} < a_{2} < \dots < a_{m} ）$ (＊)

が最適分割であるとき，次が成り立つ．

(ⅰ)　 $m ≧ 2$ である．

(ⅱ)　 $a_{1} = 2$ または $a_{1} = 3$ である．

(ⅲ)　 $a_{i + 1} - a_{i} = 1$ または $a_{i + 1} - a_{i} = 2$ $（ i = 1 ，$ $2 ，$ $\dots ，$ $m - 1 ）$ である．

(ⅳ)　 $a_{i + 1} - a_{i} = 2$ となる $i$ は多くても $1$ つである．

(ⅴ)　 $N = 50$ のとき，最適分割は次で与えられる．

$N = 2 + 3$ $+ 5$ $+ 6$ $+ 7$ $+ 8$ $+ 9$ $+ 10$

[証明の概略]

　まず，命題(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)(ⅳ)について，それぞれ背理法を用いて証明をしていく．

(ⅰ)　分割(＊)において $m = 1$ とすると $P = N$ となる．しかし， $N$ の分割として $N = 2 + (N - 2)$ を考えると $P = 2 (N - 2) > N$ _(ア)となるため，分割(＊)が最適分割であることに反する．よって， $m ≧ 2$ となる．

(ⅱ)　分割(＊)において $a_{1} = 1$ だとする．このとき， $a_{1} = 1$ を取り除いて $a_{m}$ を $a_{m} + 1$ に取り替えると $P$ の値はより大きくなるから，(＊)が最適分割であることに反する．分割(＊)において $a_{1} ≧ 5$ とすると， $2 < a_{1} - 2 ，$ $2 (a_{1} - 2) > a_{1}$ が成り立つ．すると $a_{1}$ を $2$ と $a_{1} - 2$ に分けると新しい分割が得られ， $P$ の値は大きくなるから，(＊)が最適分割であることに反する．

　次に，分割(＊)において $a_{1} = 4$ とすると $a_{2} ≧ 5$ である（(ⅰ)より $m ≧ 2$ であることに注意）．このとき $a_{1} = 4$ と $a_{2}$ を $2 ，$ $3 ，$ $a_{2} - 1$ に取り替えると和は変わらないから新しい分割が得られる．このとき

$2 \cdot 3 \cdot (a_{2} - 1) =$ $6 (a_{2} - 1) > 4 a_{2}$ _(イ)

であるから $P$ の値が大きくなり，(＊)が最適分割であることに反する．以上より $a_{1} = 2$ または $a_{1} = 3$ である．

(ⅲ)　分割(＊)のある $i$ について $a_{i + 1} - a_{i} ≧ 3$ が成り立つとする．このとき， $a_{i} ，$ $a_{i + 1}$ を $a_{i} + 1 ，$ $a_{i + 1} - 1$ に取り替えると新しい分割が得られ，これによって $P$ の値はより大きくなる．_(ウ)これは(＊)が最適分割であることに反する．したがって $a_{i + 1} - a_{i} ≦ 2$ $（ i = 1 ，$ $2 ，$ $\dots ，$ $m - 1 ）$ である．

(ⅳ)　分割(＊)において， $a_{i + 1} - a_{i} = 2$ となる $i$ が $2$ つ以上あったとする．つまり， $a_{i + 1} - a_{i} = 2 ，$ $a_{j + 1} - a_{j} = 2$ となる $i ，$ $j$ $（ 1 ≦ i < j ≦ m - 1 ）$ があったとする．このとき $a_{i} ，$ $a_{j + 1}$ を $a_{i} + 1 ，$ $a_{j + 1} - 1$ に取り替えることにより，新しい分割が得られ， $P$ の値は大きくなる．これは(＊)が最適分割であることに反する．したがって， $a_{i + 1} - a_{i} = 2$ となる $i$ は多くても $1$ つである．

(ⅴ)　まず(ⅱ)(ⅲ)(ⅳ)に注意して $N = 50$ のとき $m = 8$ であることを示し，その後具体的な最適分割を求める．

　まず，分割(＊)において $m ≦ 7$ が成り立つとする．(ⅱ)より $a_{1} ≦ 3$ のため，分割に現れる数をなるべく大きくしても

$a_{1} + a_{2} + a_{3}$ $+ a_{4}$ $+ a_{5}$ $+ a_{6}$ $+ a_{7}$ $= (エ)$

となり， $N = 50$ であることに矛盾する．

　次に，分割(＊)において $m ≧ 9$ が成り立つとする．(ⅱ)より $a_{1} ≧ 2$ のため，上と同様に議論すると $N = 50$ であることに矛盾する．_(オ)

　以上より，分割(＊)において $m = 8$ が成り立つ．

　次に，分割(＊)において $m = 8$ かつ $a_{1} = 3$ が成り立つとすると，上と同様にして $N = 50$ であることに矛盾する．よって $a_{1} = 2$ である．

　したがって， $N = 50$ のときの分割(＊)は $a_{1} = 2$ を含む $8$ つの数による分割だとわかる．さらに(ⅳ)より， $a_{i + 1} - a_{i} = 2$ となる $i$ は多くても $1$ つだから，条件を満たす分割は

$50 = 2 + 3$ $+ 5$ $+ 6$ $+ 7$ $+ 8$ $+ 9$ $+ 10$

しかない．これが求める分割である．

設問

(1)　下線部(ア)を証明せよ．

(2)　下線部(イ)を証明せよ．

(3)　下線部(ウ)を証明せよ．

(4)　空欄(エ)に当てはまる数字を記入せよ．答のみでよい．

(5)　下線部(オ)を証明せよ．

(6)　 $N = 15$ に対して最適分割を求めよ．答のみでよい．

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