2025　高知工科大学　総合選抜情報学群数学②MathJax

【１】　$7$枚のカードが横一列に並べられており，これらすべてのカードにそれぞれ赤または青の色を塗る．以下の文章中の空欄$\text{ア}\text{〜}$$\text{コ}$にあてはまる数をそれぞれ答えなさい．

(1)　異なる塗り方は全部で$\text{ア}$通りある．

(2)　赤のカードが$6$枚以上連続して並ぶ塗り方は全部で$\text{イ}$通りある．赤のカードが$5$枚連続して並ぶが，$6$枚以上連続しない塗り方は全部で$\text{ウ}$通りある．赤のカードが$4$枚連続して並ぶが，$5$枚以上連続しない塗り方は全部で$\text{エ}$通りある．

(3)　赤のカードが$3$枚連続して並ぶが，$4$枚以上連続しない場合について，塗り方を考えよう．

(ⅰ)　赤のカードが$3$枚，青のカードが$4$枚の場合は全部で$\text{オ}$通りある．

(ⅱ)　赤のカードが$4$枚，青のカードが$3$枚の場合は全部で$\text{カ}$通りある．

(ⅲ)　赤のカードが$5$枚，青のカードが$2$枚の場合は全部で$\text{キ}$通りある．

(ⅳ)　赤のカードが$6$枚，青のカードが$1$枚の場合は全部で$\text{ク}$通りある．

(4)　赤のカードが$2$枚以上連続して並ばない塗り方は全部で$\text{ケ}$通りある．

(5)　赤のカードが$2$枚連続して並ぶが，$3$枚以上連続しない塗り方は全部で$\text{コ}$通りある．

【２】　$n$を$2$以上の整数とする．$2n$枚のカードが横一列に並べられており，これらすべてのカードに赤または青の色を塗る．赤のカードが$n$枚連続して並ぶが，$n+1$枚以上連続しない塗り方の総数を$S(n)$とする．次の各問に答えなさい．解答にあたっては，解答の過程も記述しなさい．

(1)　$S(2)\text{，}$$S(3)$を求めなさい．

(2)　$S(n)$を求めなさい．

(3)　赤または青に塗られた$2n$枚のカードの列の両端がつながるように円形にする．例えば右の図は$n=6$のときのカードの並べ方である．このとき，赤のカードが$n$枚連続して並ぶが，$n+1$枚以上連続しない並べ方の総数を求めなさい．ただし，回転して一致する並べ方は同じものとみなす．

【３】　$n$を自然数とする．次の各問に答えなさい．解答にあたっては，解答の過程も記述しなさい．

(1)　等式$1^2-2^2+3^2-4^2$$+\cdots$$+{(2n-1)}^2$$-{(2n)}^2$$=-n(2n+1)$を証明しなさい．

(2)　等式$1^2-2^2+3^2-4^2$$+\cdots$$+{(-1)}^{n-1}{n}^2$$={\displaystyle \frac{{(-1)}^{n-1}}{2}}n(n+1)$を証明しなさい．

(3)　等式$1^4-2^4+3^4-4^4$$+\cdots$$+{(-1)}^{n-1}{n}^4$$={\displaystyle \frac{{(-1)}^{n-1}}{2}}n(n+1)(n^2+n-1)$を証明しなさい．