2025　高知工科大学　総合型選抜情報学群数学①MathJax

【１】　関数$f(x)$を$f(x)=x^3-12x+16$とする．また，$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．以下の文章中の空欄$\text{ア}\text{〜}$$\text{コ}$にあてはまる数をそれぞれ答えなさい．

(1)　$f(x)$は$x=\text{ア}$で極小値$\text{イ}$をとり，$x=\text{ウ}$で極大値$\text{エ}$をとる．

(2)　$C_1$上の点$\mathrm{D}(-1,f(-1))$における接線の傾きは$\text{オ}$である．また，点$\mathrm{D}$を通り，点$\mathrm{D}$以外の点で$C_1$と接する接線の傾きは$\text{カ}$である．

(3)　$0<t<2$とする．$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{P}(t,0)\text{，}$$\mathrm{Q}(t,f(t))\text{，}$$\mathrm{R}(0,f(t))$を頂点とする長方形の面積を$S(t)$とおくと，$S(t)$は$t=\text{キ}$で最大値$\text{ク}$をとる．

(4)　$a$を実数の定数とし，関数$g(x)$を$g(x)=x^3$$-a{x}^2$$+4(a-3)x$$+16$とする．$f(x)$は$a=0$のときの$g(x)$と等しい．$y=g(x)$のグラフを$C_2$とする．$C_2$は$a$の値にかかわらず$2$つの定点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る．点$\mathrm{A}$の$x$座標は$0\text{，}$点$\mathrm{B}$の$x$座標は$\text{ケ}$である．また，線分$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点が$C_2$上にあるとき，$a=\text{コ}$である．

【２】　区間$x>0$で定義された関数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{4{(x-1)}^2}{x}}& \text{（}0<x<2\text{）}\\ 1+{\displaystyle \frac{2}{x}}& \text{（}x\geqq 2\text{）}\end{array}$

について，次の各問に答えなさい．解答にあたっては，解答の過程も記述しなさい．

(1)　極限値$\underset{x\to 2-0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)-f(2)}{x-2}}$および$\underset{x\to 2+0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)-f(2)}{x-2}}$を求めなさい．

(2)　関数$f(x)$の極大値と極小値を求めなさい．

(3)　曲線$y=f(x)$の凹凸を調べて，グラフの概形をかきなさい．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，半円$C\text{：}{x}^2+y^2=1\text{，}$$y\geqq 0$がある．$C$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$における接線を$l\text{，}$点$\mathrm{A}(-1,0)$を通り$l$と直交する直線を$m$とし，$l$と$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

　次の各問に答えなさい．解答にあたっては，解答の過程も記述しなさい．

(1)　$2$直線$l\text{，}$$m$の方程式を求めなさい．

(2)　$2$つの線分$\mathrm{AQ}\text{，}$$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．

(3)　台形$\mathrm{OPQA}$の$4$辺の長さの和を$L$とする．$L$の最大値と，そのときの$\cos \theta$の値を求めなさい．

(4)　台形$\mathrm{OPQA}$の面積を$S$とする．$S$が最大となるときの$\theta$の値は，${\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすことを証明しなさい．