2025　高知工科大学　総合型選抜システム工学群MathJax

【１】　平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$がある．

点$\mathrm{D}$は辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点で，$\mathrm{AD}\perp \mathrm{BC}$を満たす．

点$\mathrm{E}$は辺$\mathrm{AC}$上の点で，$\mathrm{DE}\perp \mathrm{AC}$を満たす．

点$\mathrm{F}$は線分$\mathrm{DE}$を$s:t$に内分する点である．

次の問に答えよ．

(1)　次の内積の等式を示せ．

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}=-{\left|\overrightarrow{\mathrm{DE}}\right|}^2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}={\displaystyle \frac{s}{s+t}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{DE}}\right|}^2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{ED}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}={\displaystyle \frac{s}{2(s+t)}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{DE}}\right|}^2$

(2)　$\mathrm{AF}\perp \mathrm{BE}$のとき，$s:t$を最も簡単な整数比で答えよ．

(3)　(2)のとき，さらに$\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{AD}=\sqrt{2}$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AF}}\right|$を求めよ．

【２】　$a$は実数の定数とし，$a\ne 0$とする．$x$について以下の$2$次方程式を考える．

$4a{x}^2$$+2a(2a-3)x$$-3=0$$\cdots \text{①}$

(1)　実数$\alpha$があり，その範囲が$0\leqq \alpha <2\pi$であるとき，$\sin \alpha +\cos \alpha$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$2$次方程式$\text{①}$の解が$\sin \theta \text{，}$$\cos \theta$であるとき，$a$が満たすべき$3$次方程式を求めよ．

(3)　(2)のときの$a$の値と，それらに対する$2$次方程式$\text{①}$の解を求めよ．

【３】　$x\text{，}$$y$は$x^2+2xy+4y^2=12$を満たす実数とし，$s=x+2y\text{，}$$t=2xy$とする．

(1)　$y$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$t$を$s$を用いて表せ．

(3)　$s$のとり得る値の範囲を求めよ．また，$s$が最大になるときの$x\text{，}$$y$の値の組$(x,y)$を求めよ．

(4)　$x^3+8y^3$を$s$を用いて表せ．また，$x^3+8y^3$が最大になるときの$x\text{，}$$y$の値の組$(x,y)$を求めよ．