2025　高知工科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　不等式$|4x-3|<5$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　白玉$7$個，赤玉$5$個が入っている袋から，玉を同時に$3$個取り出すとき，白玉$2$個と赤玉$1$個が出る確率を求めよ．ただし，答は既約分数で表せ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　方程式$4^x-2^{x+1}-3=0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$\pi <\theta <{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$とする．$\tan \theta =\sqrt{7}$のとき，$\sin \theta$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　円$x^2+y^2=1$と直線$y=m(x+3)-1$が共有点をもつとき，定数$m$のとり得る値の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,1,-2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(1,2,1)$と実数$t$について，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$の最小値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　複素数$z$が$z+{\displaystyle \frac{1}{z}}=\sqrt{3}$を満たしている．このとき，$z^{100}+{\displaystyle \frac{1}{z^{100}}}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$$\text{（}x>0\text{）}$の極大値を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とし，次の条件を満たすとする．

$a_1=2\text{，}$$S_{n+1}-5S_n=3^{n+1}-1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$S_3$をそれぞれ求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を，$a_n$を用いた式で表せ．

(3)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{3^n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．$b_{n+1}$を，$b_n$を用いた式で表せ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

【３】　関数$f(x)=(2x+1)e^x$について，次の各問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$の接線で原点を通るものが$2$本存在する．この$2$直線の方程式を求めよ．

(4)　(3)で求めた$2$本の直線と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$a$を定数とする．$2$次不等式$x^2+4ax+14a>0$の解が，すべての実数となるとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$6$人を$2$つの部屋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に入れる方法は全部で何通りあるか．ただし，$6$人全員が同じ部屋に入ってもよいものとする．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とし，次の条件を満たすとする．

$a_1=2\text{，}$$S_{n+1}-5S_n=3^{n+1}-1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$S_3$をそれぞれ求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を，$a_n$を用いた式で表せ．ただし，

$n\geqq 2$のとき，$a_n=S_n-S_{n-1}$

であることを用いてよい．

(3)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{3^n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．$b_{n+1}$を，$b_n$を用いた式で表せ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{2}{3}}(1-x^2)$上の点で$x$座標が$-1$である点を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$における$C$の接線を$l$とする．さらに，$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　接点の$x$座標が$t$である放物線$C$の接線の方程式を求めよ．

(2)　直線$l$と$x$軸のなす角を$\theta$とする．$a=\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$とするとき，$a$の値を求めよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(3)　$\mathrm{\angle OAB}$を二等分する直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．

(4)　(3)の直線$m$と放物線$C$で囲まれた図形のうち，$x\geqq 0$の範囲にある部分の面積$S$を求めよ．