2025　山陽小野田市立山口東京理科大学　中期MathJax

【１】　次の(1)，(2)の文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの数字を求め，解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を表し，分数は既約分数で表すものとする．

(1)　一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{A}$から$\mathrm{DM}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．このとき，次の(a)から(c)までの各問いに答えなさい．

(a)　線分$\mathrm{AH}$の長さは${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ア}}}{\text{イ}}}$である．

(b)　$\mathrm{\angle AMD}=\theta$とすると，$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\text{ウ}\sqrt{\text{エ}}}{\text{オ}}}$である．

(c)　正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{カ}}}{\text{キ}\text{ク}}}$である．

【１】　次の(1)，(2)の文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの数字を求め，解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を表し，分数は既約分数で表すものとする．

(2)　$100$人を対象に，$3$つのデザイン$\mathrm{a}\text{，}$$\mathrm{b}\text{，}$$\mathrm{c}$に対する良否の判定を調べた．ここで，すべての人がデザイン$\mathrm{a}\text{，}$$\mathrm{b}\text{，}$$\mathrm{c}$のそれぞれに対して良か否かのどちらかを答えたとする．このときデザイン$\mathrm{a}$を良いとした人は$27$人，デザイン$\mathrm{b}$を良いとした人は$31$人，デザイン$\mathrm{c}$を良いとした人は$29$人いた．$100$人の集合を$U\text{，}$デザイン$\mathrm{a}$を良いとした人の集合を$A\text{，}$デザイン$\mathrm{b}$を良いとした人の集合を$B\text{，}$デザイン$\mathrm{c}$を良いとした人の集合を$C$とする．ある集合$X$ に対して，その補集合を$\bar{X}\text{，}$その要素の個数を$n(X)$で表す．$n(A\cap B)=12\text{，}$$n(B\cap C)=10\text{，}$$n(C\cap A)=8\text{，}$$n(\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C})=40$であった．このとき，次の(a)から(e)までの各問いに答えなさい．

(a)　$n(A\cup B\cup C)=\text{ケ}\text{コ}$である．

(b)　$n(A\cap \bar{B})=\text{サ}\text{シ}$である．

(c)　$n(B\cap \bar{C})=\text{ス}\text{セ}$である．

(d)　$n(C\cap \bar{A})=\text{ソ}\text{タ}$である．

(e)　$n(A\cap B\cap C)=\text{チ}$である．

【２】　次の(1)，(2)の文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの数字を求め，解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を表し，分数は既約分数で表すものとする．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$において，関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める．

$f(x)=\sin (2x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

$g(x)=2{\cos }^2(x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$

このとき，次の(a)，(b)の各問いに答えなさい．

(a)　$2$つの関数の和$f(x)+g(x)$は，$x={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}\text{ウ}}}\pi$のとき最大値をとり，最大値は$\sqrt{\text{エ}}+\text{オ}$である．

(b)　$2$つの関数の積$f(x)g(x)$は，$x={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}\pi$のとき最大値をとり，最大値は${\displaystyle \frac{\text{ク}\sqrt{\text{ケ}}}{\text{コ}}}$である．

【２】　次の(1)，(2)の文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの数字を求め，解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を表し，分数は既約分数で表すものとする．

(2)　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$\tan \alpha =3$のとき，次の(a)から(c)までの各問いに答えなさい．

(a)　${\cos }^2\alpha ={\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}\text{ス}}}\text{，}$${\sin }^2\alpha ={\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}\text{タ}}}$である．

(b)　$\cos 2\alpha =-{\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}}\text{，}$$\sin 2\alpha ={\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}}$である．

(c)　$\tan {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{-\text{ナ}+\sqrt{\text{ニ}\text{ヌ}}}{\text{ネ}}}$である．

【３】　次の(1)，(2)の文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの数字を求め，解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい．ただし，分数は既約分数で表すものとする．

　$a$を実数とする．関数$f(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-ax|\mathit{dx}$について考える．このとき，次の(1)，(2)の各問いに答えなさい．

(1)

(a)　$a\leqq 0$のとき$f(a)=-{\displaystyle \frac{1}{\text{ア}}}a+{\displaystyle \frac{1}{\text{イ}}}$である．

(b)　$0\leqq a\leqq 1$のとき$f(a)={\displaystyle \frac{1}{\text{ウ}}}{a}^3$$-{\displaystyle \frac{1}{\text{エ}}}a$$+{\displaystyle \frac{1}{\text{オ}}}$である．

(c)　$1\leqq a$のとき$f(a)={\displaystyle \frac{1}{\text{カ}}}a-{\displaystyle \frac{1}{\text{キ}}}$である．

(2)　$f(a)$は$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ク}}}{\text{ケ}}}$のとき最小値をとり，最小値は${\displaystyle \frac{\text{コ}-\sqrt{\text{サ}}}{\text{シ}}}$である．

【４】　次の(1)から(4)までの各問いに答えなさい．解答は記述解答用紙に導出過程も含めて記入しなさい．図示する問題でなくても，必要であれば図をかいて説明してもよい．

　$0$でない複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$が${\alpha }^2-\alpha \beta +{\beta }^2=0$と$3{\beta }^2-3\beta \gamma +{\gamma }^2=0$を満たす．複素数平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$とする．${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の偏角が$0<\arg {\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}<\pi \text{，}$${\displaystyle \frac{\gamma }{\beta }}$の偏角が$0<\arg {\displaystyle \frac{\gamma }{\beta }}<\pi \text{，}$${\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}$の偏角が$0<\arg {\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}<\pi$である．

(1)　${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の偏角$\arg {\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$を求めなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{\gamma }{\beta }}$の値を求めなさい．

(3)　$\alpha =1$であるとき，$\mathrm{▵ABO}$および$\mathrm{▵ACO}$を記述解答用紙の複素数平面上に図示しなさい．また，それぞれの三角形の各辺の長さも図示しなさい．

(4)　${\displaystyle \frac{\gamma }{\gamma -\alpha }}$の値を求めなさい．