2025　山陽小野田市立山口東京理科大学　前期数学①MathJax

【１】　次の(1)，(2)の文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの数字を求め，解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(1)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{CD}=4\text{，}$$\mathrm{DA}=1$のとき，次の(a)，(b)の各問いに答えなさい．

(a)　$\mathrm{▵ABC}$に対して余弦定理を用いると

${\mathrm{AC}}^2=\text{ア}\text{イ}-\text{ウ}\text{エ}\cos \mathrm{\angle ABC}$

となる．一方，$\mathrm{▵ACD}$に対して余弦定理を用いると

${\mathrm{AC}}^2=17-8\cos (\text{オ}\text{カ}\text{キ}\mathrm{°}-\mathrm{\angle ABC})$

となる．

　よって$\mathrm{\angle ABC}=\text{ク}\text{ケ}\mathrm{°}$である．

(b)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\text{コ}\sqrt{\text{サ}}$である．

【１】　次の(1)，(2)の文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの数字を求め，解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を，$$は$3$桁の数をそれぞれ表し，分数は既約分数で表すものとする．

(2)　工場$\mathrm{A}$で作られる製品$\mathrm{X}$が不良品である確率は$10\mathrm{\%}\text{，}$工場$\mathrm{B}$で作られる製品$\mathrm{X}$が不良品である確率は$20\mathrm{\%}$であることがわかっているとする．このとき，次の(a)から(c)までの各問いに答えなさい．

(a)　工場$\mathrm{B}$で製品$\mathrm{X}$を$4$個作るとき，不良品がちょうど$2$個含まれる確率は，${\displaystyle \frac{\text{シ}\text{ス}}{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}}$である．

(b)　工場$\mathrm{A}$と工場$\mathrm{B}$で製品$\mathrm{X}$をそれぞれ$2$個，合計$4$個作るとき，少なくとも$1$個の不良品が含まれる確率は，${\displaystyle \frac{\text{チ}\text{ツ}\text{テ}}{\text{ト}\text{ナ}\text{ニ}}}$である．

(c)　工場$\mathrm{A}$と工場$\mathrm{B}$で作られた製品$\mathrm{X}$を$7:3$の割合で倉庫に保管する．倉庫から無作為に$1$個の製品$\mathrm{X}$を選び，それが不良品であったとき，その製品$\mathrm{X}$が工場$\mathrm{A}$で作られたものである確率は，${\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}\text{ノ}}}$である．

【２】　次の(1)から(4)までの文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの数字を求め，解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を表し，分数は既約分数で表すものとする．

　正三角形$\mathrm{ABC}$のどれか一つの頂点上にある点$\mathrm{P}$は$1$分経過するたびに，確率${\displaystyle \frac{1}{5}}$でその点に留まり，確率${\displaystyle \frac{2}{5}}$で時計回りに隣の頂点に移動し，確率${\displaystyle \frac{2}{5}}$で反時計回りに隣の頂点に移動するものとする．最初，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$にあり，頂点$\mathrm{A}$を出発した点$\mathrm{P}$が$n$分後に頂点$\mathrm{A}$にある確率を$p_n$とし，$n$は自然数とする．このとき，次の(1)から(4)までの各問いに答えなさい．

(1)　$n$分後に頂点$\mathrm{A}$にあり，$(n+1)$分後も頂点$\mathrm{A}$にある確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}{p}_n$である．

(2)　$n$分後に頂点$\mathrm{A}$になく，$(n+1)$分後に頂点$\mathrm{A}$に移動する確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}(\text{オ}-p_n)$である．

(3)　$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表すと，$p_{n+1}=-{\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}{p}_n+{\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}$である．

(4)　確率$p_n$は，$-{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}\text{シ}}}{(-{\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}})}^{n-1}+{\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}$である．

【３】　次の(1)，(2)の文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの数字を求め，解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を表し，分数は既約分数で表すものとする．

(1)　座標空間内に点$\mathrm{A}(2,3,4)\text{，}$点$\mathrm{B}(14,7,-2)\text{，}$点$\mathrm{C}(1,5,1)$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$の大きさは$\text{ア}\text{イ}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$の内積は$\text{ウ}$である．

　座標空間内の点$\mathrm{P}$について$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積が$0$であるとき，点$\mathrm{P}$は中心$(\text{エ},\text{オ},\text{カ})\text{，}$半径$\text{キ}$の球面上にある．

【３】　次の(1)，(2)の文章中の$$内のカタカナに当てはまる$0$から$9$までの数字を求め，解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を表し，分数は既約分数で表すものとする．

(2)　区間$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，曲線$y=e^{-x}$と曲線$y=\sin x$および直線$y=1$で囲まれた図形の面積を$D$とする．この区間における$2$つの曲線$y=e^{-x}\text{，}$$y=\sin x$の共有点の$x$座標を$\beta$とすると，$D=\sin \beta -\cos \beta -\text{ク}+{\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\pi$である．ただし，$e$は自然対数の底である．

【４】　曲線$y=x^3-x+6$について，次の(1)から(3)までの各問いに答えなさい．解答は記述解答用紙に導出過程も含めて記入しなさい．

(1)　曲線上の点$(a,a^3-a+6)$における接線の方程式を求めなさい．

(2)　(1)で求めた接線が点$(t,0)$を通るときの$a$と$t$の満たす関係式を求めなさい．ただし，$t$は実数の定数とする．

(3)　点$(t,0)$から曲線へ接線を$3$本引けるような$t$の値の範囲を求めなさい．