2025　下関市立大　中期MathJax

　袋の中から$1$枚のカードを取り出し，書かれた数を確認して袋の中に戻す操作を$2$回繰り返す．取り出したカードに書かれた数のうち大きい方を$X\text{，}$小さい方を$Y$とおく．ただし，$2$回の操作で取り出したカードに書かれた数が等しいときは，$X\text{，}$$Y$はともにその等しい数とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$m=3$のとき，$Y=2$である確率$P(Y=2)$を求めよ．

(2)　$m=3$のとき，$X$の期待値$E(X)$を求めよ．

(3)　$E(X)>2.99$を満たす最小の$m$を求めよ．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．また，そのグラフをかけ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフと直線$y={\displaystyle \frac{11}{24}}$の$3$つの共有点の$x$座標を$t_1\text{，}$$t_2\text{，}$$t_3$$\text{（}{t}_1<t_2<t_3\text{）}$とする．このとき，$2<t_3<3$を示せ．

(3)　(2)の$t_1\text{，}$$t_2\text{，}$$t_3$と$r>t_3$を満たす実数$r$に対して，面積$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3\text{，}$$S_4$を次のように定める．

・$S_1\text{：}x\leqq t_1$の範囲で，$y$軸，曲線$y=f(x)\text{，}$直線$y={\displaystyle \frac{11}{24}}$で囲まれた部分の面積

・$S_2\text{：}{t}_1\leqq x\leqq t_2$の範囲で，曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{11}{24}}$で囲まれた部分の面積

・$S_3\text{：}{t}_2\leqq x\leqq t_3$の範囲で，曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{11}{24}}$で囲まれた部分の面積

・$S_4\text{：}{t}_3\leqq x$の範囲で，直線$x=r\text{，}$曲線$y=f(x)\text{，}$直線$y={\displaystyle \frac{11}{24}}$で囲まれた部分の面積

$S_1+S_3=S_2+S_4$が成り立つとき，$r$の値を求めよ．