2025　福山市立大学　推薦MathJax

【３】　次の文章を読んで，後の問１〜問６に答えなさい．

　つよしさんは江戸時代の「大日本沿海$\stackrel{\text{よ}}{\text{輿}}$地全図」作成の中心人物として知られる₍₁₎偉人$\mathrm{A}$の伝記を読み，測量と数学との関わりに関心を持った．

　例えば図１のような海岸の地形において，同一水平面上に点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{OA}=300\mathrm{m}\text{，}$$\mathrm{OB}=500\mathrm{m}\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=120\mathrm{°}$であったとする．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の間の距離を求めたい場合には$\text{①}$を用いて計算すると，その距離は$\text{②}\mathrm{m}$とわかる．この様に，直接測量が行えない地点間においても，数学を用いればその距離を知ることができる．

　また，水平面上のいくつかの点について相互の距離がわかれば，その点同士を結んでできる三角形の面積を，ヘロンの公式^(注１)を用いて求めることができる．例えば図２のような水平で高低差の無い建設現場において，点$\mathrm{C}$から点$\mathrm{G}$までの$5$つの点があり，点同士の間の距離を測定した結果が表１の通りであったとする．$3$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$で囲まれた三角形の面積は，ヘロンの公式を用いて$\text{③}{\mathrm{m}}^2$と計算できる．同様の方法で面積を求めていくことで，五角形$\mathrm{CDEFG}$で囲まれた土地の面積を$\text{④}{\mathrm{m}}^2$と算出することができ，角度の情報を得ずとも，土地の面積を計算できる．

　次に，つよしさんは地図と数学との関わりに関心を持ち，図３のような縮尺$5$万分の$1$の地図を作成し，地理と数学を合わせた問題をつくることにした．この地図は上側を真北としており，山頂$\mathrm{H}$の真南に地点$\mathrm{W}\text{，}$地点$\mathrm{W}$の真西に地点$\mathrm{X}$がとられている．地図上の地点同士の長さを測ったところ，直線$\mathrm{HX}$の長さは$0.60\mathrm{cm}\text{，}$直線$\mathrm{HW}$の長さは$0.40\mathrm{cm}$であった．これらのことから，図３の地形が実際に存在していたとすると，地点$\mathrm{H}$と地点$\mathrm{X}$の水平距離は$\text{⑤}\mathrm{m}\text{，}$地点$\mathrm{H}$と地点$\mathrm{W}$の水平距離は$\text{⑥}\mathrm{m}\text{，}$地点$\mathrm{W}$と地点$\mathrm{X}$の水平距離は$\text{⑦}\mathrm{m}$であると推計できる．

　実際の空間上では，水平距離だけでなく垂直距離（すなわち標高差）もあるため，地点$\mathrm{W}$と地点$\mathrm{X}$の距離は$\text{⑦}\mathrm{m}$よりも$\text{⑧}$なる．垂直距離を知る手がかりは，地形上の同じ標高の点同士を結んだ線である$\text{⑨}$であり，地点$\mathrm{W}$の標高は$\text{⑩}\mathrm{m}\text{，}$地点$\mathrm{X}$の標高は$\text{⑪}\mathrm{m}$であることが読み取れる．また，標高のわかっているいずれかの地点から他の地点を見上げたとき，水平面からの仰角を計測することで，₍₂₎他の地点の標高も推計できる．

　つよしさんはさらに，天文学における距離の測定に関心を持った．調べてみたところ，図４のように₍₃₎太陽系から遠く離れた天体までの距離を測定する方法の$1$つに，地球の公転による，恒星を観測した際の角度の変化を用いる方法があることを知った．

　以上のように多くの測量の場面で数学が用いられていることを知り，つよしさんはますます数学に対する興味を深めていった．

(注１)　ヘロンの公式：三角形の$3$辺の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$としたとき，その三角形の面積は$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$である．ただし$s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$

問１　下線部(1)について，偉人$\mathrm{A}$の人物名を漢字で答えなさい．

問２　$\text{①}$に当てはまる語句を以下の(ア)〜(エ)の中から$1$つ選び，記号で答えなさい．ただし，図１中に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{B}$以外の点を設けずに，$\mathrm{AB}$の距離が求められるものを答えなさい．また，$\text{②}$に当てはまる数値を計算により求め，答えなさい．ただし，$\text{②}$の解答欄には答えのみを記入し，根号を含む形で解答する場合には，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(ア)正弦定理

(イ)余弦定理

(ウ)三平方の定理

(エ)中点連結定理

問３　$\text{③}$および$\text{④}$に当てはまる数値を計算により求め，それぞれ答えなさい．ただし，解答欄には答えのみを記入し，根号を含む形で解答する場合には，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

問４　$\text{⑤}\text{〜}$$\text{⑪}$に当てはまる語句または数値をそれぞれ答えなさい．ただし，$\text{⑧}$については「長く」または「短く」のいずれかの語句で答えなさい．また，根号を含む形で解答する場合には，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

問５　下線部(2)について，図３の地形が実際に存在しており，地点$\mathrm{X}$から山頂$\mathrm{H}$を見上げた時，水平面からの仰角は$30\mathrm{°}$であったとする．このとき，山頂$\mathrm{H}$の標高を求めなさい．ただし，観測者の身長は無視するものとする．なお，解答用紙の「式」欄には答えの導出に至るまでの考え方と計算過程を文章や図を用いて記入しなさい．

　また，解答用紙の「答え」欄は根号や小数を用いずに整数で解答することとし，単位は$\text{「}\mathrm{m}\text{」}$で答えなさい．この際，必要に応じて$\sqrt{2}=1.41\text{，}$$\sqrt{3}=1.73\text{，}$$\sqrt{5}=2.24$として計算し，小数第$1$位を四捨五入しなさい．

問６　下線部(3)について，図４における太陽から恒星$\mathrm{Z}$までの距離を$L$とする．このとき，$L$を本文や図４中の記号を用いて，文字式で表しなさい．ただし地球は太陽を中心とした半径$R$の真円の軌道を一定のペースで進み，ちょうど$1$年で$1$周するものとし，恒星$\mathrm{Z}$と太陽を結ぶ直線は，地球の公転面（地球の公転軌道が属する平面）と直交するものとする．また，角度$\theta$は「ある時点での地球${\mathrm{P}}_1$と恒星$\mathrm{Z}$を結ぶ線分」と$\text{「}{\mathrm{P}}_1$の時点からちょうど半年後の地球${\mathrm{P}}_2$と恒星$\mathrm{Z}$を結ぶ線分」のなす角とし，$180\mathrm{°}$を超えないこととする．