2025　広島市立大学　前期MathJax

【１】

問１　$n$を$2$以上の整数とする．$n$本のくじがあり，そのうち$2$本が当たりくじである．この中から同時に$2$本を引くとき，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率が${\displaystyle \frac{11}{21}}$となるような$n$を求めよ．

【１】

問２　$i$を虚数単位とするとき，${\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}+i}{2}}\right)}^{2025}$を計算せよ．

【１】

問３　次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2(1-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{n}})$

【１】

問４　次の不定積分，定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x^3-3x^2+2x-2}{x^2-x}}\mathit{dx}$

【１】

問４　次の不定積分，定積分を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}}\mathit{dx}$

【２】

問１　$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$は$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=5$を満たすとするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{\angle OAB}$は鋭角，直角，鈍角のいずれであるかを調べよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}$を用いて表せ．

【２】

問２　$n$を自然数とし，実数$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$は$0<a_i<1$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$を満たしているとする．このとき，$2$以上のすべての自然数$n$に対して，次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

$(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)\cdots (1-a_n)$$>1-(a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n)$

【３】　関数$f(x)=2\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})+x-2$$\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

問１　関数$f(x)$の増減，極値を調べよ．

問２　曲線$y=f(x)$と直線$y=x$の交点の座標を求めよ．

問３　曲線$y=f(x)\text{，}$直線$y=x$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．