2025　尾道市立大学　後期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$1$から$n$までの番号が書かれたカードが$1$枚ずつ計$n$枚ある．この中から$4$枚のカードを無作為に選び，書かれた番号が小さい順となるようにカードを並べ替える．このとき，$2$番目にあるカードの番号が$\text{「}2\text{」}$となる確率を求めなさい．ただし，$n\geqq 4$とする．

(2)　いくつかのサイコロを投げ，出た目の数が小さいものから順に並べ替えるという試行を考える．例えば，$4$個のサイコロを投げて出た目が$1\text{，}$$5\text{，}$$2\text{，}$$5$の場合は$\text{「}1\text{，}$$2\text{，}$$5\text{，}$$5\text{」}$と並べ替え，$1$番目は$\text{「}1\text{」，}$$2$番目は$\text{「}2\text{」，}$$3$番目と$4$番目はともに$\text{「}5\text{」}$となる．ただし，サイコロは$1$から$6$までの目がすべて等確率で出るものとする．

(a)　$2$個のサイコロを投げて出た目の小さい順に並べ替える．このとき，$2$番目が$\text{「}2\text{」}$となる確率を求めなさい．

(b)　$4$個のサイコロを投げて出た目の小さい順に並べ替える．このとき，$2$番目が$\text{「}2\text{」}$となる確率を求めなさい．

【２A】　$\text{「}1\text{」}$を$1$個，$\text{「}2\text{」}$を$2$個，$\text{「}3\text{」}$を$3$個，$\cdots$と順に並べてできる数列を$\{a_n\}$とし，以下の群数列を考える．

$1|2,2|3,3,3|$$4,4,4,4|$$5,5,5,5,5|$$6,6,\cdots$

これらの群を一番左から順に，第$1$群，第$2$群，第$3$群，$\cdots$と呼ぶことにする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$100$が初めて現れる項，すなわち，第$100$群の$1$番目の項は最初から数えて第何項であるか求めなさい．

(2)　$a_{2025}$を求めなさい．

(3)　初項から第$n$項までの和$S_n$が，$9000$に最も近い値となるような$n$をすべて求め，そのときの$S_n$を求めなさい．

【２B】　辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$が平行で，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}=20\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=\mathrm{\angle BCD}=60\mathrm{°}$を満たす台形$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とする．動点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$を始点として台形$\mathrm{ABCD}$の周上を$\mathrm{A}\to$$\mathrm{B}\to$$\mathrm{C}\to$$\mathrm{D}$の順に$1$秒間に$2$ずつ移動する．また，線分$\mathrm{DE}$と線分$\mathrm{AP}$の共有点が存在するとき，その点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$として，次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表しなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{BC}$上にあり線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{DE}$が直交するのは，点$\mathrm{P}$が移動を始めて何秒後か求めなさい．

(3)　点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{DE}$を$4:7$に内分するとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表しなさい．

【３】　$2$次関数$f(x)=-x^2+4x\text{，}$$g(x)=x^2-ax+b$$\text{（}a>-4\text{）}$について考える．$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$は$x>0$の範囲内のある点で接する，すなわち，ある同じ点で接する共通な接線をもつ．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$b$を$a$を用いて表しなさい．

(2)　$2$つの放物線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$の接点における共通な接線$l$の方程式を$a$を用いて表しなさい．

(3)　$2$つの放物線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積$S$を$a$を用いて表しなさい．

(4)　図形$D$を$l$によって$2$つの部分に分けたとき，$l$の上側の部分の面積を$S_1\text{，}$$l$の下側の部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1$と$S_2$の大小関係として最も適切なものを次の(ア)〜(エ)の中から選び，それを理由とともに答えなさい．

$\text{(ア) }{S}_1>S_2$$\text{(イ) }{S}_1=S_2$$\text{(ウ) }{S}_1<S_2$$\text{(エ) 大小関係は場合によって異なる}$