2025　尾道市立大学　前期MathJax

【２A】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，

$S_n=n^3+3n^2+2n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　一般項$a_n$を求めなさい．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k<{\displaystyle \frac{1}{3}}$が成り立つことを示しなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k\geqq 0.3333$を満たす最小の自然数$n$を求めなさい．

【２B】　$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=3:5$を満たす三角形$\mathrm{OAB}$があり，$\mathrm{\angle AOB}$の$2$等分線$l$と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{C}$とする．また，頂点$\mathrm{A}$を通り$\mathrm{OB}$に平行な直線と$l$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$頂点$\mathrm{B}$を通り$\mathrm{OA}$に平行な直線と$l$との交点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

(3)　$3$つの線分の長さの比$\mathrm{OC}:\mathrm{CD}:\mathrm{DE}$を最も簡単な整数の比で表しなさい．

【３】　$3$次関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$に対して，曲線$y=f(x)$は$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(2,0)\text{，}$$\mathrm{B}(r,0)$を通る．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$および$r$は実数の定数で，$a<0$かつ$r>2$を満たすとする．曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形のうち，$0\leqq x\leqq 2$の部分の面積を$S\text{，}$$2\leqq x\leqq r$の部分の面積を$T$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$d$を求めなさい．また，$b$と$c$について，それぞれ$a\text{，}$$r$を用いて表しなさい．

(2)　$S=24$のとき，$a$を$r$を用いて表しなさい．

(3)　$a\text{，}$$r$は(2)で求めた条件を満たすとする．導関数$f^{\prime }(x)$に対して$f^{\prime }(x)=0$が$x=4\pm {\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{21}$を解にもつとき，$a\text{，}$$r$を求めなさい．

(4)　$a\text{，}$$r$は(3)で求めた値とする．$T$を求めなさい．