2025　岡山県立大学　中期MathJax

【１】次の問いに答えよ．

〔1〕不等式$\sin x+\sqrt{3}\cos x>\sqrt{2}$を解け．ただし，$0\leqq x<2\pi$とする．

【１】次の問いに答えよ．

〔2〕次の関数を微分せよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{1-{\cos }^2(2x-1)}{{\tan }^2(2x-1)}}$

【１】次の問いに答えよ．

〔3〕関数$g(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^{-x}}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$g^{\prime }(x)=\{1-g(x)\}g(x)$が成り立つことを示せ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{\{g(x)\}}^2\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$が

$3\leqq a_1<6\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{9}}{(a_n)}^2+2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3\leqq a_n<6$を示せ．

(2)　$a_n\geqq a_{n+1}$を示せ．

(3)　$a_{n+1}-3\leqq {\displaystyle \frac{a_1+3}{9}}(a_n-3)$を示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　座標平面上において，楕円${\displaystyle \frac{x^2}{8}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$上の点$\mathrm{A}(2,\sqrt{2})$における接線を$l_1\text{，}$法線を$l_2$とする．$y$軸上の点$(0,a)$を$\mathrm{B}$とする．ただし，$0\leqq a<\sqrt{2}$とする．直線$\mathrm{AB}$と法線$l_2$のなす角を$\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$l_1$と$l_2$の方程式を求めよ．

(2)　$\tan \theta$を$a$で表せ．

(3)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$a$の値を求めよ．

【４】　$f(x)=x^3-2x^2\text{，}$$g(x)=-3f(x)$とする．座標平面上において，曲線$y=f(x)$を$C_1\text{，}$曲線$y=g(x)$を$C_2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値を求め，曲線$C_1$の概形をかけ．

(2)　曲線$C_1$と曲線$C_2$の共有点の座標を求めよ．

(3)　曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(4)　$0<a<1$とする．曲線$C_1\text{，}$$C_2$と直線$x=a\text{，}$$x=a+1$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とするとき，$S(a)$の最大値を求めよ．