2025　岡山県立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

〔1〕不等式$2{({\log }_{2}x)}^3$$+5{({\log }_{2}x)}^2$$-4{\log }_{2}x-3>0$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

〔2〕$i$を虚数単位とする．複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(-2+3i)\text{，}$$\mathrm{B}$について，$\mathrm{\angle OAB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{B}$が虚軸上にあるとき，点$\mathrm{B}$を表す複素数を求めよ．

(2)　点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{O}$を中心として${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点が実軸上にあるとき，点$\mathrm{B}$を表す複素数の実部を求めよ．

【２】　ひし形$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{\angle DOE}=90\mathrm{°}$とする．直線$\mathrm{OE}$と辺$\mathrm{BC}$との共有点を$\mathrm{F}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(4)　$\cos \mathrm{\angle AOC}$の値を求めよ．

(5)　$\mathrm{OA}=\sqrt{2}$のとき，ひし形$\mathrm{OABC}$の面積を求めよ．

【３】　$r$を実数とし，$\{a_n\}$を初項$1\text{，}$公比$r$の無限等比数列とする．無限級数

$a_2+a_4+a_6$$+\cdots +a_{2n}+\cdots$

が収束し，その和が${\displaystyle \frac{3}{8}}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$r$の値を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(3)　無限級数

$a_1\cos \pi +a_2\cos 2\pi$$+a_3\cos 3\pi$$+\cdots$$+a_n\cos n\pi +\cdots$

の和を求めよ．

【４】　座標平面上において，曲線$y=e^{x+1}$を$C_1\text{，}$曲線$y=\log (x+1)$を$C_2\text{，}$点$(-1,0)$を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$から曲線$C_1$に引いた接線を$l_1$とし，その接点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{A}$から曲線$C_2$に引いた接線を$l_2$とし，その接点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　接線$l_1\text{，}$$l_2$の方程式と点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　曲線$C_1\text{，}$$C_2$と直線$\mathrm{PQ}$の概形をすべて同じ座標平面上にかけ．

(3)　曲線$C_1\text{，}$直線$x=-1\text{，}$$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(4)　曲線$C_2\text{，}$直線$\mathrm{PQ}\text{，}$$y$軸で囲まれた部分の面積$T$を求めよ．