2025　兵庫県立大学　中期理学部MathJax

(1)　$f(x)=e^x\sin x$の第$2$次導関数を求めよ．

(2)　$g(x)=e^x\cos x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$とする．$g(x)\geqq 1$であることを示せ．

(3)　$h(x)=f(x)$$-x^2-x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$とする．$h(x)\geqq 0$であることを示せ．

(1)　$f(x)$を連続関数とする．関数$g(x)={\displaystyle {\int }_x^{2x}}{\displaystyle \frac{{(f(t))}^2}{t^3}}\mathit{dt}$$\text{（}x>0\text{）}$について，$g^{\prime }(x)$を計算せよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\log t}{t^3}}\mathit{dt}$を求めよ．

(3)　関数$h(x)={\displaystyle {\int }_x^{2x}}{\displaystyle \frac{{(\log t)}^2}{t^3}}\mathit{dt}$$\text{（}x>0\text{）}$について，$h(x)$の極大値，およびそれを与える$x$の値を求めよ．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$の面積を$x$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$x$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積が${\displaystyle \frac{1}{12}}$となるときの$x$の値を求めよ．

(1)　$w\ne 1$であることを示せ．

(2)　$z$を$w$の式で表せ．

(3)　原点と点$i$を結ぶ線分の垂直二等分線上を点$z$が動くとき，点$w$はどのような図形をえがくか．

$(2\cos \alpha -{\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }},2\sin \alpha )\text{，}$$({\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }},0)$

と表される$2$点を通るものとし，$r=f(\theta )$を$l$の極方程式とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(\theta )$を求めよ．

(2)　極座標が$(r,\theta )$である点が直線$l$上を動くとき，$\theta$の動く範囲を$\alpha$を用いて表せ．ただし，$r\geqq 0\text{，}$$-\pi \leqq \theta <\pi$とする．

(3)　極座標が$(r,\theta )$である点が直線$l$上を動くとき，$-{\displaystyle \frac{8}{r^3}}+{\displaystyle \frac{15}{r^2}}-{\displaystyle \frac{9}{r}}$の最小値が$-2$であることを示せ．ただし，$r\geqq 0$とする．