2025　兵庫県立大学　前期工学部MathJax

(1)　$x=\tan \theta$とおいて置換積分法を用いることにより，定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{x^2+1}}$を求めよ．

(2)　等式${\displaystyle \frac{x^2+5x+1}{(2-x)(x^2+1)}}$$={\displaystyle \frac{a}{2-x}}$$+{\displaystyle \frac{bx+c}{x^2+1}}$が成り立つような定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^2+5x+1}{(2-x)(x^2+1)}}\mathit{dx}$を求めよ．

$a_1=1\text{，}$$a_2=1\text{，}$

$a_{n+2}={\displaystyle \frac{{(a_{n+1})}^2}{a_n}}+(2n+1)a_{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおくとき，$b_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(1)　関数$y=f(x)$$\text{（}-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}\text{）}$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．なお，グラフの凹凸，変曲点については調べる必要はない．

(2)　曲線$y=f(x)$$\text{（}-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}\text{）}$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(1)　取り出した$5$個の玉の色が$3$種類である確率を求めよ．

(2)　取り出した$5$個の玉の色が$3$種類であったとき，袋$\mathrm{B}$から取り出した$2$個の玉の色が$1$種類である条件付き確率を求めよ．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　$0\leqq t\leqq 1$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))$を通る傾き$-1$の直線と直線$y=x$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$s$とおくとき，$s$を$t$の式で表せ．

(3)　曲線$C\text{，}$線分$\mathrm{AB}\text{，}$線分$\mathrm{BO}$で囲まれた図形を直線$y=x$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．