2025　大阪公立大学　後期MathJax

問１　$K$の体積を$V(k)$とするとき，$V(k)$を$k$の式で表せ．

問２　$V(k)$の$k>0$の範囲での最小値とそのときの$k$の値を求めよ．

問３　$K$の表面積を$S(k)$とするとき，極限値

$\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{V(k)}{S(k)}}$

を求めよ．ただし$K$の表面積とは，$xy$平面上の点を$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(0,{\displaystyle \frac{1}{k}})\text{，}$$\mathrm{B}(1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(1,k+{\displaystyle \frac{1}{k}})$とおくとき，線分$\mathrm{AC}$が$x$軸の周りに回転してできる曲面の面積および線分$\mathrm{OA}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$が$x$軸の周りに回転してできる$2$枚の円板の面積をあわせたものをいう．

$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$

とおき，$0$以上$(n-1)$以下の整数$k$に対して複素数${\alpha }^k$の表す複素数平面上の点を${\mathrm{A}}_k$とする．ただし${\alpha }^0=1$とする．また，複素数平面上の$2$点$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}$に対して$\mathrm{XY}$で線分$\mathrm{XY}$の長さを表すとする．このとき次の問いに答えよ．

問１　${\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_k$を$k$の式で表せ．

問２　直線$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_0$上に実数$x\geqq 1$が表す点$\mathrm{P}$をとる．このとき等式

$\mathrm{P}{\mathrm{A}}_0\times \mathrm{P}{\mathrm{A}}_1\times \cdots \times \mathrm{P}{\mathrm{A}}_{n-1}=x^n-1$

が成り立つことを示せ．

問３　等式

$n={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\Pi }}}(2\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{n}})$

を示せ．ただし数列$\{a_k\}$に対して${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\Pi }}}{a}_k$$=a_1$$\times a_2$$\times \cdots$$\times a_{n-1}$とする．

(ⅰ)　$a_1=2\text{．}$

(ⅱ)　整数$n\geqq 1$に対して，$a_{n+1}$は$1$または素数または素因数分解が相異なる素数の積となる自然数のうち，$a_{n+1}\geqq a_n^2-1$をみたす最小のもの．

このとき次の問いに答えよ．

問１　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

問２　整数$n\geqq 1$に対して$a_n\geqq 2$となることを示せ．

問３　整数$n\geqq 2$に対して$a_n>{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\Pi }}}{a}_k$となることを示せ．ただし数列$\{a_k\}$に対して${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\Pi }}}{a}_k$$=a_1$$\times a_2$$\times \cdots$$\times a_{n-1}$とする．

問４　任意の整数$n\geqq 2$に対して，$a_n$を割り切る素数$p$であって，$1\leqq m<n$となるすべての整数$m$に対して$a_m$を割り切らないものが存在することを示せ．

$w={\displaystyle \frac{z+i}{iz+1}}$

によって定める．このとき次の問いに答えよ．

問１　$w$は$0\text{，}$$i\text{，}$$-i$とは異なることを示せ．

問２　$\left|z\right|>1$であることと$w$の虚部が$0$より小さいことは同値であることを示せ．

問３　複素数$w_1\text{，}$$w_2\text{，}$$w_3\text{，}$$w_4$を

$w_1=w={\displaystyle \frac{z+i}{iz+1}}\text{，}$$w_2={\displaystyle \frac{w_1+i}{i{w}_1+1}}\text{，}$$w_3={\displaystyle \frac{w_2+i}{i{w}_2+1}}\text{，}$$w_4={\displaystyle \frac{w_3+i}{i{w}_3+1}}$

によって定める．$w_2\text{，}$$w_3\text{，}$$w_4$を$z$を用いて表せ．

問４　$w_1\text{，}$$w_2\text{，}$$w_3\text{，}$$w_4$のいずれかは次の条件をみたすことを示せ．

絶対値が$1$以下，かつ虚部が$0$以上．

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(y)\cos (x-y)\mathit{dy}$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

をみたすとする．このとき次の問いに答えよ．

問１　$f(x)$は実数$A\text{，}$$B$を用いて$f(x)=A\cos x+B\sin x$の形に表されることを示せ．

問２　$f(x)$は定数関数$0$であることを示せ．

　次に，区間$[0,\pi ]$上の連続関数$g(x)$は等式

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\{g(y)\}}^2\cos (x-y)\mathit{dy}$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

をみたすとする．このとき次の問いに答えよ．

問３　$g(x)$をすべて求めよ．