2025　大阪公立大学　中期MathJax

　$a$は$0<a<1$を満たす実数とする．$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，$2$つの曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{\tan x}{a}}$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．以下の問いに答えよ．

問１　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{\cos x}}\mathit{dx}$を求めよ．

問２　$S(a)$を$a$を用いて表せ．

問３　極限値$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{S(a)}{a}}$を求めよ．

　空間内の点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面を$S$とする．$S$上の異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を含む平面を$\alpha$とし，$S$と$\alpha$が交わってできる円の中心を$\mathrm{D}$とする．直線$\mathrm{AD}$と$S$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{E}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=3(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}})$

が成り立つとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とし，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=k$とおく．以下の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

問３　内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を$k$を用いて表せ．

問４　$\cos \mathrm{\angle AOE}$を$k$を用いて表せ．

　$i$は虚数単位とする．複素数$z$について，$\bar{z}$は$z$の共役複素数を表すものとする．以下の問いに答えよ．

問１　$z=4+3i$のとき，$(\bar{z}+5i)(z-3-i)$の値を求めよ．

問２　$(\bar{z}+5i)(z-3-i)$が純虚数または$0$となる複素数$z$全体の集合は，複素数平面において円となる．この円の中心を表す複素数$\alpha$と半径$r$を求めよ．

問３　$(\bar{z}+5i)(z-3-i)$が純虚数または$0$となる複素数$z$の絶対値$\left|z\right|$の最大値および最小値を求めよ．ただし，それらを与える$z$の値は求めなくてよい．

問４　$t$は実数とする．$(\bar{z}+5i)(z-3-i)=t$を満たす複素数$z$が存在する$t$の範囲を求めよ．

　自然数$n$に対し，時刻$0$から$n$秒後を時刻$n$と定める．正四面体の頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を$1$秒ごとに移動する点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$の時刻$0$での位置は頂点$\mathrm{A}$であり，時刻$n-1$から時刻$n$になったとき，点$\mathrm{P}$の位置は次の規則に従って決まるものとする．

［規則］

・位置を変えず同じ頂点にいる確率は$p$である．

・位置を変えて他のそれぞれの頂点に移動する確率はどれも${\displaystyle \frac{1-p}{3}}$である．

ただし，$p$は$0<p<1$を満たす実数である．例えば，時刻$1$に点$\mathrm{P}$の位置が頂点$\mathrm{A}$である確率は$p$で，頂点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$である確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1-p}{3}}$となる．時刻$n$に点$\mathrm{P}$の位置が頂点$\mathrm{A}$である確率を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$p={\displaystyle \frac{1}{5}}$のとき，$a_3$の値を求めよ．

問２　$a_{n+1}$を$a_n$と$p$を用いて表せ．

問３　$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．

問４　点$\mathrm{Q}$は時刻$0$での位置が頂点$\mathrm{B}$であり，点$\mathrm{P}$と同様に［規則］に従って頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を$1$秒ごとに移動する．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の位置の決め方は互いに影響を受けず，$2$点の位置が同じである場合もあるとする．時刻$n$に点$\mathrm{P}$の位置と点$\mathrm{Q}$の位置が同じである確率を$x_n$とし，$b_n={\displaystyle \frac{1-a_n}{3}}$とおく．$x_n$を$b_n$を用いて表せ．

　$e$は自然対数の底とする．関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}\log {\displaystyle \frac{e^x+1}{\sqrt[4]{2e^{2x}+1}}}$

と定める．以下の問いに答えよ．

問１　$f(0)$および$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

問２　$X=e^{-x}$とおく．$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を$X$の分数式で表せ．

問３　$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．

問４　$f(x)$の極大値を求めよ．

問５　$x$に関する方程式$f(x)=k$がただ$1$つの実数解をもつような実数$k$の範囲を求めよ．